Квантовые статистики и их применения, страница 9

Введём переменную , тогда  получаем .

Очевидно, Т = , тогда . В этом случае

.

Давление фононного газа равно .

Правильность формулы по размерности очевидна, подставим значения

.

ОТВЕТ: а) 5,5∙10⁹ Па; б) 1,7∙10^–6 Па; в) 5,16∙10⁸ Па.

2.2.3. Задачи для самостоятельного решения

1. Найти при Т = 0 К а) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, если их концентрация n; б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если их максимальная кинетическая энергия .

2. Найти относительное число свободных электронов в металле, энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на η = 0,1 %, если температура металла Т = 0.

3. Сколько процентов свободных электронов в металле при Т = 0 имеет кинетическую энергию, превышающую половину максимальной?

4. Найти число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при Т = 0 , если уровень Ферми Е_F  = 3,07 эВ. Плотность натрия
ρ = 0,97 г/см³ .

5. До какой температуры должен быть нагрет классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов была равна средней энергии электронов в меди при Т = 0? На каждый атом меди приходится один свободный электрон.

6. Найти при Т = 0 К отношение средней скорости свободных электронов к их максимальной скорости.

7. Показать, что средняя энергия  <ε> свободных электронов в кристалле не зависит от числа атомов, образующих кристалл.

8. Как изменится плотность энергетических уровней свободных электронов в металле при увеличении числа атомов, образующих металл,  в η раз?

9. Как изменится интервал Δε между соседними уровнями энергии свободных электронов в металле при увеличении объёма образца в 3 раза?

10. Объём образца металла V = 1 см³. Вычислить интервал между соседними уровнями энергии свободных электронов для значений энергии ε, равных: 0,1 эВ; 1 эВ; 3 эВ; 5 эВ.

11. Считая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон определить: а) уровень Ферми при абсолютном нуле для меди; б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов при Т = 0.

12. Определить уровень Ферми в некотором металле при Т = 300  К, если при Т = 0   Е_F (0) = 5 эВ.

13. Определить долю η свободных электронов в металле при Т = 0 К, имеющих кинетическую энергию, превышающую половину максимальной.

14. Определить долю η свободных электронов в металле  при Т = 0 К, имеющих кинетическую энергию, превышающую среднюю энергию.

15. Найти вероятность того, что в состоянии с энергией ε = Е_F будет находится свободный электрон.

16. Определить среднее число <n>свободных электронов, находящихся на уровне Ферми.

17. Какова вероятность того, что электрон при температуре 27 °С займёт состояния, лежащие на 0,1 эВ выше уровня Ферми?

18. Найти энергию Ферми для свободных электронов калия при абсолютном нуле. На один атом приходится один свободный электрон.

19. Выразить среднюю квадратичную скорость свободных электронов в металле через их максимальную скорость. Уровень Ферми Е_F = 5 эВ.

20. Найти максимальную энергию фонона, который может возбуждаться в кристалле с температурой Дебая  = 300 К. Фотон какой длины волны λ обладал бы такой же энергией?