Квантовые статистики и их применения, страница 8

Проверим размерность .

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧА 7. Оценить давление: а) электронного газа на стенки в металле при Т = 0 К и концентрации свободных электронов n = 2,5∙10²² см^–3; б) теплового излучения в полости при температуре Т = 330 К; в) фононного газа в меди с дебаевской температурой = 330 К и концентрацией атомов = 8,4∙10²² см^–3.

ДАНО: а) Т = 0 К,    n = 2,5∙1028 м–3   б) Т = 330 К в) = 330 К = 8,4∙1028 м–3

– ?

АНАЛИЗ. Газ фермионов (электронов) и газ бозонов (фотоны, фононы) рассматриваем как идеальный газ с той лишь разницей, что вместо распределения Максвелла – Больцмана этот газ подчиняется соответственно статистике Ферми-Дирака (электроны) или Бозе-Эйнштейна (фотоны, фононы). Поэтому для определения давления газа будем использовать основное уравнение МКТ = n<ε>, где n – концентрация частиц (электронов, фотонов или      фононов),    <ε> – средняя энергия частицы.

РЕШЕНИЕ. а) найдём давление электронного газа. Согласно формуле (2.2.9) задачи 1 средняя энергия электрона <ε>=, . Тогда

.

Проверим размерность:

. Подставим значения:

.

б) Найдём давление фотонного газа в полости при Т = 330 К. Для равновесного фотонного газа давление связано с плотностью энергии соотношением: , где ,  – спектральная плотность энергии фотонного газа, определённая формулой Планка:

.

Проинтегрировав эту формулу по всем частотам от 0 до ∞, получаем

,

где – энергетическая светимость при данной температуре,  – постоянная Стефана-Больцмана, с – скорость света.

          Давление фотонного газа     .

Проверим размерность: . Подставим значения: .

в) Найдём давление фононного газа в меди. Учтём, что  – энергия единицы объёма фононного газа, . Из формулы (2.2.13) задачи 6

,

тогда , причём (см. задачу 6). Подставив , получаем

, и давление .