Квантовые статистики и их применения, страница 2

          Распределение Бозе-Эйнштейна для фотонного и фононного  газов приведено на рис. 2.2.2, где сплошной линией изображено распределение Бозе-Эйнштейна, пунктиром – Максвелла – Больцмана:

                                                        .

Для фотонов e = hn и р=hn/c, поэтому число квантовых со­стояний (фазовых ячеек) в интервале частот (n, n + dn)в расче­те на единицу объема фотонного газа равно

                   .

Число фотонов с частотами в интервале (n, n + dn) равно

.

Коэффициент  соответствует двум возможным попе­речным поляризациям фотона. Спектральная плотность энергии излуче­ния (фотонного газа)    

                                       .

          Это формула План­ка.

        Для фононов число квантовых со­стояний (фазовых ячеек) в интервале частот (n, n + dn)в расче­те на единицу объема

где  скорость акустических волн в кристалле.

Фонон имеет три поляризации (продольную и две поперечные), поэтому коэффициент . Максимальная энергия фонона достигается при температуре Дебая .

2.2.2. Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. Пользуясь распределением Ферми-Дирака, найти а) функцию распределения электронов по скоростям и их максимальную скорость  при
Т = 0 К, значение энергии Ферми ; б) среднюю энергию свободных электронов при этой температуре; в) вероятность обнаружить электрон с энергией в интервале от  - 0,01 до +0,01  при температуре 100 К, при 1000 К. Концентрация  свободных электронов  n = 3∙10²² см^–3.

ДАНО: а) Т = 0 К; в) ε = + 0,01  = 100 К; Т2 = 1000 К п = 3∙1028 м–3

а) d n (),max , б) <ε> – ? в) Р1; Р2 – ?

АНАЛИЗ. Для  решения задачи воспользуемся распределением Ферми-Дирака:

               .        (2.2.1)

При абсолютном нуле (Т = 0 К) величина μ есть энергия Ферми (μ=Е_F), это максимальная энергия, которую может иметь электрон в металле.

Электрон в металле движется как свободный, его полная энергия равна кинетической, т.е.