Квантовые статистики и их применения, страница 3

ε = .                                       (2.2.2)

          Подставив ε  в выражение (2.2.1), находим функцию распределения электронов по скоростям.

          Максимальную скорость находим, подставив в выражение (2.2.2) энергию Ферми, которую в свою очередь определяем, проинтегрировав выражение (2.2.1) по всем значениям энергии от 0 до . Среднюю энергию свободных электронов находим следующим образом

<ε> =.

Вероятность обнаружить электрон с энергией ε при температуре Т равна

.

РЕШЕНИЕ. Найдём энергию Ферми. При Т = 0 К число квантовых состояний dz (фазовых ячеек) для свободных электронов с энергиями в интервале (ε, ε+dε) равно

,                                               (2.2.3)

где р – импульс электрона. Кинетическая энергия  , тогда , и .

          Подставив р² и  в выражение (2.2.3), получаем:

.

Введём обозначение , тогда

.                                               (2.2.4)

Число свободных электронов  в интервале энергий (ε, ε+dε) равно произведению числа  фазовых ячеек на функцию распределения (2.2.1):

.                                                 (2.2.5)

Множитель 2 появился в связи с тем, что в каждой фазовой ячейке (квантовом состоянии) могут находиться два электрона с противоположно направленными спинами. При Т = 0 электроны полностью заполняют все фазовые состояния, и f= 1, тогда

.                                            (2.2.6)

Концентрация свободных электронов n определяется при интегрировании этого выражения в пределе от до

  ,                      (2.2.7)

тогда энергию Ферми при Т = 0 можно представить в виде:

.        (2.2.8)

          Максимальная скорость электронов соответственно энергии Ферми, , поэтому  .

Проверим размерность: .    Подставим значения:

.

          Чтобы найти функцию распределения электронов по скоростям при Т = 0, подставим в выражение (2.2.5)  и :

.

Проверим размерность .

При Т = 0 К  средняя энергия свободных электронов равна интегралу:

<ε>=.