Математика \ Высшая математика

Подвійні інтеграли. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтнграла. Означення і властивості подвійного інтегралу

Страницы работы

16 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Содержание работы

Лекція 4

ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

План:

4.1. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтнграла.

4.2. Означення і властивості подвійного інтегралу.

4.3. Обчислення подвійного інтеграла.

4.4. Заміна змінних у подвійному інтегралі.

4.5. Приклади.

4.6. Запитання для самоперевірки.

Українсько-російський словник вжитих в лекції слів, які в мовах мають різне звучання.

Подвійні – двойные

Напрямна – направляющая

Обмежений – ограниченный

Чином – образом

Істотне – существенное

Тлумачення – толкование

Довільне – произвольное

Забезпечує – обеспечивает

Ототожнювати –

– тождествлять

Певною – определённой

Переконатися –убедиться

Подавши – представляя

Переріз – сечение

Перетин – пересечение

Обсяг – количественная величина чего-то

Здійснюємо –

–осуществляем

Наслідок – следствие

Поточна точка (координата)–

– текущая точка (координата)

Зовнішній – внешний

Коло – окружность

Промінь – луч

Математичні факти з попередніх розділів, які використовуються в даній лекції.

1.Подвійний інтеграл обчислюється по якійсь області заданій на площині хОу, обмеженій лініями, а тому знання рівнянь і вигляду кривих ліній для засвоєння теми “Подвійні інтеграли” є основополагаючим. Подамо рівняння, вигляд і характеристику кривих, які найчастіше зустрічаються в подвійних інтегралах.

1.1.Еліпси.

На рисунку еліпс, рівняння якого . Розв’язуючи його відносно змінної у, одержимо рівняння верхньої половинки і нижньої половинки . А коли рівняння розв’яжемо відносно змінної х, то одержимо рівняння правої половинки і лівої половинки. Коло ми розглядаємо, як частинний випадок еліпса (рівні напівосі).

1.2.Параболи квадратичні.

Напрямок віток параболи залежить від знаку перед : якщо знак +, то вітки напрямлені вгору; якщо знак –, то вітки напрямлені вниз. Парабола перетинає вісь Ох в точках, які є коренями рівняння у=0. На рисунку в параболи корені .

1.3.Параболи кубічні.

Якщо в кубічній параболі знак при стоїть +, то пр зміні х від до так же змінюється і у , тобто характер зміни у буде такми, як на рисунку. Графік кубічної параболи завжди один раз перетинає вісь Оу, і один, або три рази перетинає вісь Ох.

1.4. Графік функції вісь Он має за вісь симетрії, а тому знаходчи обернену функцію (виражаємо х як функцію у) будьмо уважні. Невірно буде просто піднести обидві частини до степеня і одержати . Це буде рівняння лише правої вітки. Вірно буде так:

1.5. Гіпербола (шкільна).

Якщо в рівняння гіперболи при к>0, знаки біля х і у однакові , то вітки її графіка знахлдяться в І і ІІІ чвертях площини і центр знаходиться в точці О(0,0). Якщо рівняння має вид , то центр буде в точці . Наприклад .

1.6. Гіпербола (канонічна).

При вираженні змінних х чи у з канонічного рівняння гіперболи , потрібно (як і у випадку з еліпсом) памятати, що ми повинні одержати рівняння двох віток. Наприклад, з рівняння одержимо рівняння нижніх двох напіввіток і верхніх .

1.7. Дробнораціональні функції.

Якщо знаменник функції не дорівнює нулю ні при яких значенняз х. То графік цієї кривої буде схожий на профіль степової могили (рос. курган) і при k>0 лежатиме вище вісі Ох, а при k<0 – нижче. Нариклад графік на рисунку. Графік функції відрізнятиметься лише висотою.

1.8.Показникові та логарифмічні функції.

1.9.Тригонометричні функції

Залежність вигляду графіка функції від зміни аргумента добре видно на рисунках. У звязку з тим, що , то при побудові графіків функціїї косинуса виконуються такі ж перетворення лише вісь Оу буде зміщена на вправо від 0.