Похідна в даному напрямку. Градієнт функції. Диференціювання неявних функцій. Дотична площина й нормаль до поверхні: Практичне заняття № 4

Практичне заняття №4

“Похідна в даному напрямку. Градієнт функції. Диференціювання неявних функцій. Дотична площина й нормаль до поверхні”

Похідна в даному напрямку. Градієнт функції.

Похідною функції  в крапці  в напрямку вектора  називається межа

,

де .

Якщо функція  диференціюєма, то похідна в даному напрямку обчислюється по формулі

де α – кут, утворений вектором I з віссю Ох.

У випадку функції трьох перемінних  похідна в даному напрямку визначається аналогічно. Відповідна формула має вигляд

,

де  – направляючі косинуси вектора I.

Градієнтом функції  в крапці  називається вектор, що виходить із крапки М и то, що має своїми координатами приватні  похідні функції z:

Градієнт функції і похідна в напрямку вектора I зв'язані формулою

.

Градієнт указує напрямок найшвидшого росту функції в даній крапці. Похідна  в напрямку градієнта має найбільше значення, рівне

У випадку функції  градієнт функції дорівнює

.

Приклад 1.

Знайти похідну функції  в крапці М(1, 1) у напрямку вектора I, що складає кут α = 60° з позитивним напрямком осі Ох.

Рішення.

Знайдемо значення приватних похідних у крапці М:

         

Тому що ,   , то

.

Приклад 2.

Знайти похідну функції  в крапці М(3, 4) у напрямку градієнта функції z.

Рішення.

Тут вектор I  збігається з градієнтом функції  в крапці М(3, 4) і дорівнює

.

Отже,

.

Приклад 3.

Знайти величину і напрямок градієнта функції  в крапці .

Рішення.

Знайдемо приватні похідні

і обчислимо їх значення в крапці :

Отже,

;                   ;

;            .

Диференціювання неявних функцій.

Похідна неявної функції  заданої за допомогою рівняння , де  – диференціюєма функція перемінних х и у, може бути обчислена по формулі

за умови, що .

Похідні вищих порядків неявної функції можна знайти послідовним диференціюванням зазначеної формули, розглядаючи при цьому у як функцію від х.

Аналогічно, приватні похідні неявної функції двох перемінних  заданої за допомогою рівняння , де  – диференціюєма функція перемінних х, у и z, можуть бути обчислені по формулах

,                    

за умови, що .

Приклад 4.

. Знайти  і

Рішення.

Тут . Знайдемо , , відкіля

.

Знайдемо другу похідну:

.

Приклад 5.

. Знайти , .

Рішення.

Тут . Знаходимо , , . Тоді

;                .

Приклад 6.

. Знайти .

Рішення.

Як відомо, , тому знайдемо спочатку  і :

,                .

Отже,

.

Дотична площина і нормаль до поверхні.

Дотичною площиною до поверхні в крапці М називається площина, що містить у собі всі дотичні до кривих, проведених на поверхні через крапку М.

Нормаллю до поверхні називається пряма, що проходить через крапку торкання М и перпендикулярна дотичній площини.

Якщо поверхня задана рівнянням , то рівняння дотичної площини в крапці  поверхні має вигляд

,

де , ,  – значення приватних похідних у крапці М, а х, у, z – поточні координати крапки дотичної площини.

Рівняння нормалі до поверхні в крапці М записуються у виді

.

Тут х, у, z – поточні координати крапки нормалі.

Якщо ж рівняння поверхні задане явно , то рівняння дотичної площини в крапці  записується у виді

,

а рівняння нормалі – у виді

.

Приклад 7.

Дано поверхню . Скласти рівняння дотичної площини і рівняння нормалі до поверхні в крапці .

Рішення.

Знайдемо приватні похідні  й  і їх значення в крапці : , .

Рівняння дотичної площини:

, або .

Рівняння нормалі:

.

Приклад 8.

До поверхні  провести дотичні площини, рівнобіжні площини .

Рішення.

Тут . Знайдемо приватні похідні:

,     ,    .

З умови паралельності дотичної площини і даної площини випливає, що , або . Приєднавши до цих рівнянь рівняння поверхні , знайдемо координати крапок торкання:  і .

Отже, рівняння дотичних площин мають вигляд

,

т. е.

 и.