Приватні похідні і диференціал функції. Приватні похідні вищих порядків. Диференціювання складних функцій: Практичне заняття № 2

Практичне заняття №2.

“Приватні похідні і диференціал функції. Приватні похідні вищих порядків. Диференціювання складних функцій ”

Приватні похідні і диференціал функції

Приватною  похідною від функції  по незалежної перемінної х називається похідна

обчислена при постійному у.

Приватною похідною по у називається похідна

обчислена при постійному х.

Для приватних похідних справедливі звичайні правила і формули диференціювання.

Приклад 1.

. Знайти  і .

Рішення. Розглядаючи у як постійну величину, одержимо . Розглядаючи х як постійну, знайдемо .

Приклад 2.

. Знайти  і .

Рішення. Маємо

,          

Приклад 3.

Показати, що функція  задовольняє рівнянню .

Рішення. Знаходимо

.

Підставимо знайдені вираження в знайдену частину рівняння:

Повний диференціал.

Повним збільшенням функція  в крапці  називається різниця , де  і  – довільні збільшення аргументів.

Функція  називається диференціюємою у крапці , якщо в цій крапці повне збільшення можна представити у виді

,

де .

Повним диференціалом функції  називається головна частина повного збільшення , лінійна щодо збільшень аргументів  і , тобто .

Диференціали незалежних перемінних збігаються з їх збільшеннями, тобто  і .

Повний диференціал функції  обчислюється по формулі

.

Аналогічно, повний диференціал функції трьох аргументів обчислюється по формулі

.

При досить малому  для диференціюємої функції  справедливі наближені рівності

               .

Приклад 4.

. Знайти .

Рішення. Знайдемо приватні похідні:

,

.

Отже,

.

Приклад 5.

. Знайти .

Рішення. Маємо , де

,    ,          .

Отже,

.

Приклад 6.

Обчислити приблизно , виходячи зі значення функції  при х=1, у=1.

Рішення. Значення функції  при х=1, у=1 є . Знайдемо збільшення функції  при , :

Отже, .

Приватні похідні і диференціали вищих порядків.

Приватними похідними другого порядку від функції  називаються приватні похідні від її приватних похідних першого порядку.

Позначення приватних похідних другого порядку:

;

;

;

.

Аналогічно визначаються і позначаються приватні похідні третього і вищого порядків, наприклад;

;

    і т.д.

так називані «змішані» похідні, що відрізняються друг від друга лише послідовністю диференціювання, рівні між собою, якщо вони безперервні, наприклад, .

Диференціалом другого порядку від функції  називається диференціал від її повного диференціала, тобто .

Аналогічно визначаються диференціали третього і вищого порядків: ; узагалі, .

Якщо х и у – незалежні перемінні і функція  має безперервні приватні похідні, то диференціали вищих порядків обчислюються по формулах:

;

;

узагалі, має місце символічна формула

,

яка формально розкривається по біноміальному законі.

Приклад 7.

. Знайти , , .

Рішення. Знайдемо приватні похідні:

;                  .

Диференціюючи повторно, одержимо

;

;

.

Приклад 8.

. Знайти .

Рішення. Маємо

;             ,

,    ,    ,

.

Приклад 9.

. Знайти .

Рішення. Маємо

,   ,   .

Диференціювання складних функцій.

Нехай , де ,  і функції , ,  дифференціюємі.

Тоді похідна складної функції  обчислюється по формулі

.

Якщо , де , то повна похідна від z по х знаходиться по формулі

.

Якщо ж , де , , то приватні похідні виражаються так:

,

.

Приклад 10.

, де , . Знайти .

Рішення. Маємо

Виразивши х и у через t, одержимо

.

Приклад 11.

, де . Знайти , .

Рішення. Маємо . Використовуючи формулу повної похідної, знаходимо