Практичне заняття №2.
“Приватні похідні і диференціал функції. Приватні похідні вищих порядків. Диференціювання складних функцій ”
Приватні похідні і диференціал функції
Приватною похідною від функції по незалежної перемінної х називається похідна
обчислена при постійному у.
Приватною похідною по у називається похідна
обчислена при постійному х.
Для приватних похідних справедливі звичайні правила і формули диференціювання.
Приклад 1.
. Знайти і .
Рішення. Розглядаючи у як постійну величину, одержимо . Розглядаючи х як постійну, знайдемо .
Приклад 2.
. Знайти і .
Рішення. Маємо
,
Приклад 3.
Показати, що функція задовольняє рівнянню .
Рішення. Знаходимо
.
Підставимо знайдені вираження в знайдену частину рівняння:
Повний диференціал.
Повним збільшенням функція в крапці називається різниця , де і – довільні збільшення аргументів.
Функція називається диференціюємою у крапці , якщо в цій крапці повне збільшення можна представити у виді
,
де .
Повним диференціалом функції називається головна частина повного збільшення , лінійна щодо збільшень аргументів і , тобто .
Диференціали незалежних перемінних збігаються з їх збільшеннями, тобто і .
Повний диференціал функції обчислюється по формулі
.
Аналогічно, повний диференціал функції трьох аргументів обчислюється по формулі
.
При досить малому для диференціюємої функції справедливі наближені рівності
.
Приклад 4.
. Знайти .
Рішення. Знайдемо приватні похідні:
,
.
Отже,
.
Приклад 5.
. Знайти .
Рішення. Маємо , де
, , .
Отже,
.
Приклад 6.
Обчислити приблизно , виходячи зі значення функції при х=1, у=1.
Рішення. Значення функції при х=1, у=1 є . Знайдемо збільшення функції при , :
Отже, .
Приватні похідні і диференціали вищих порядків.
Приватними похідними другого порядку від функції називаються приватні похідні від її приватних похідних першого порядку.
Позначення приватних похідних другого порядку:
;
;
;
.
Аналогічно визначаються і позначаються приватні похідні третього і вищого порядків, наприклад;
;
і т.д.
так називані «змішані» похідні, що відрізняються друг від друга лише послідовністю диференціювання, рівні між собою, якщо вони безперервні, наприклад, .
Диференціалом другого порядку від функції називається диференціал від її повного диференціала, тобто .
Аналогічно визначаються диференціали третього і вищого порядків: ; узагалі, .
Якщо х и у – незалежні перемінні і функція має безперервні приватні похідні, то диференціали вищих порядків обчислюються по формулах:
;
;
узагалі, має місце символічна формула
,
яка формально розкривається по біноміальному законі.
Приклад 7.
. Знайти , , .
Рішення. Знайдемо приватні похідні:
; .
Диференціюючи повторно, одержимо
;
;
.
Приклад 8.
. Знайти .
Рішення. Маємо
; ,
, , ,
.
Приклад 9.
. Знайти .
Рішення. Маємо
, , .
Диференціювання складних функцій.
Нехай , де , і функції , , дифференціюємі.
Тоді похідна складної функції обчислюється по формулі
.
Якщо , де , то повна похідна від z по х знаходиться по формулі
.
Якщо ж , де , , то приватні похідні виражаються так:
,
.
Приклад 10.
, де , . Знайти .
Рішення. Маємо
Виразивши х и у через t, одержимо
.
Приклад 11.
, де . Знайти , .
Рішення. Маємо . Використовуючи формулу повної похідної, знаходимо
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.