Поняття комплексного числа. Основна теорема алгебри. Багаточлени і їхні корені, розкладання багаточленів на множники. Раціональні дроби, їхнє розкладання на найпростіші

Лекція 3

План.

1.  Поняття комплексного числа. Основна теорема алгебри.

2.  Багаточлени і їхні корені, розкладання багаточленів на множники.

3.  Раціональні дроби, їхнє розкладання на найпростіші.

1. Поняття комплексного числа. Основна теорема алгебри.

          До введення комплексного числа змусила вимога, щоб усякому квадратному рівнянню й навіть усякому алгебраїчному рівнянню можна було приписувати відоме рішення. Якщо, наприклад, хочуть, щоб  рівняння  мало корені, то доводиться ввести нові символи + i та –i у властивості коренів цього рівняння (й цим одночасно досягається, як доводиться в алгебрі, те що усі алгебраїчні рівняння алгебри вирішуються).

          Той факт, що будь-яке алгебраїчне рівняння має дійсні або комплексні корені, складає склад так званої “основної теореми ” алгебри.

          Основна теорема алгебри:

          Будь-який багаточлен степеню  має хоча б один комплексний (речовий або уявний) нуль, тобто корінь.

          Якщо а та b – звичайні дійсні числа, то комплексне число с = а + ib означає ні що інше, як пару чисел (а; b), причому дії над подібними парами робляться просто за наступним правилом.

          Комплексні числа  а + ib (у склад яких входить у якості приватного випадку при b=0 також й дійсні числа) складають, помножують, ділять, розглядаючи позначку i як невизначену величину, а потім спрощують усі вираження, що містять i у степенях вище першого, користуючись співвідношенням i² = – 1, так що i зостається тільки в першому степені й знову отримаємо вираження у вигляді а + ib.

2. Багаточлени і їхні корені, розкладання багаточленів на множники

Функція виду , де n – натуральне число, a_i (i = 0, 1, …, n) – постійні коефіцієнти, називається багаточленом (або цілою раціональною функцією).

Ціла раціональна функція(багаточлен) інтегрується безпосередньо.

Теорема. Усякий багаточлен з дійсними коефіцієнтами розкладається на лінійні і квадратні множники з дійсними коефіцієнтами, тобто багаточлен  можна представити у виді:

причому всі квадратні тричлени не мають речовинних коренів.

3. Раціональні дроби, їхнє розкладання на найпростіші

Нехай  і  – багаточлени. Функція виду  називається раціональним дробом. Якщо ступінь чисельника нижче ступеня знаменника, тобто n < m, то раціональний дріб називається правильним; якщо n ≥ m, те дріб – неправильним. Наприклад,  – правильний дріб, а  і  – неправильні дроби.

Найпростішими дробами називаються дроби виду:

I.        .

II.       , де m – ціле число, причому m ≥ 2.

III.     , де , тобто знаменник не має дійсних коренів.

IV.     , де n – ціле число, причому n ≥ 2, а знаменник не має дійсних коренів.

В усіх чотирьох випадках А, В, p, q, a – дійсні числа.

Перед інтегруванням  раціонального дробу  треба зробити наступні перетворення й обчислення:

1)       якщо дріб  неправильний, то виділяємо цілую частину, тобто поділяємо чисельник на знаменник і записуємо у вигляді:

,

де М(х) – багаточлен, а  – правильний раціональний дріб;

2)  розкладемо знаменник на множники (лінійний і квадратні);

3)  правильний раціональний дріб  розкладемо на найпростіші дроби:

Тут коефіцієнти  – невизначені коефіцієнти, поки вони невідомі;

4)  щоб визначити ці коефіцієнти, останню рівність приводимо до загального знаменника, відкидаємо знаменник і дорівнюємо коефіцієнти при однакових ступенях х у лівій і правій частинах отриманої рівності. Одержимо систему лінійних рівнянь, вирішивши яку, знайдемо коефіцієнти

Для знаходження коефіцієнтів можна використовувати наступне зауваження: тому що отримана рівність виконується при всіх значеннях х, то вона буде виконуватися і при відомих значеннях х, рівних дійсним кореням багаточлена , або х можна додати будь-які приватні значення. Описаний метод називається методом невизначених коефіцієнтів.