Подвійні інтеграли. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтнграла. Означення і властивості подвійного інтегралу, страница 6

4.Перемінити порядок інтегрування  

Розв’язок: маємо .Область обмежена лініями  або ;  ;  Область  обмежена лініями   або;  ;  Побудуємо обидві області на рисунку 3. - це область, обмежена криволінійним трикутником .  - це область, обмежена криволінійним трикутником . Як бачимо області .

Найближче в області  лежить точка . ; найвище лежать точки, які розташовані на прямій . Тому в першому інтегралі .

В цей час коли так змінюється  в другому інтегралі  буде “бігати” по кривій  від точки  до точки . Запишемо рівняння кривої в явній формі       так як  , , то або остаточно .

                   Рис.4.7.

Правою границею для  буде крива   від точки  до точки .Виразимо цю криву також в явній формі  ; , .

На ділянці   ; тому  ; остаточно маємо:.

П.5. Обчислити , де - параболічний сегмент, обмежений параболою  і прямою .

       Розв’язок: побудуємо область. Парабола  перетне пряму  в двох точках з

координатами (0,0) і (2,2). А тому  а у в

                                                                                                                                           Рис.4.8.

цей час буде змінюватись в межах від   до  .

==

=.

Відповідь:

П.6. Обчислити інтеґрал Ейлера-Пуассона      

   Розв'язання .  Оскільки    відрізняється від І лише формою запису змінної (замість х стоїть у)    то їх величини будуть однакові, а тому . Крім того  . А тому

Обчислимо останній інтеґрал (рис. 4.9). Областю інтегрування є перший октант . В полярній системі цю область утворить промінь, який буде виходити з полюса, а тому , і прямуватиме в нескінченність, а тому . Це будуть межі внутрішнього інтегралу по . Починати свій рух промінь повинен з положення , а тому це буде нижня границя зовнішнього

Рис. 4.9                        інтегралу по , а закінчити свій рух промінь має в положенні , і це буде верхня границя зовнішнього інтегралу. Маємо  звідки  тобто                                                                      (4.10)

 Цей інтеґрал широко застосовується в теорії ймовірностей.

Запитання для самоперевірки.

1. Що ми називаємо подвійним інтегралом? Який геометричний та механічний зміст він має ?
2. Чим ми керуємось вибираючи порядок інтегрування подвійного інтегралу?
3. Для яких областей границі інтегрування зовнішнього і внутрішнього інтегралів є постійними числами?
4. Для яких областей границі інтегрування  внутрішнього інтеграла є функціями?
5. Чи можуть бути границі інтегрування зовнішнього  інтеграла функціями від змінної інтегрування внутрішнього інтеграла?
6. Запишіть формулу переходу в подвійному інтегралі від прямокутної системи координат до полярної.
7. Наведіть приклад із застосування в техніці полярної системи координат.
8. Проведіть аналогію між обчисленням площі через подвійний інтеграл і одержанням зображення на екрані телевізора.
9. Що є спільного в роботі радіолокатора і обчисленні подвійного інтеграла в полярній системі координат?
10. За допомогою теореми про середнє значення оцініть інтеграл

          де область D квадрат .

Розвяжіть самостійно.

1. Перемінити порядок інтегрування.

1.1.  Відп.

1.2.  Відп.

1.3.Відп.

1.4.Відп.

2. Обчислити подвійні інтеграли у вказаних областях.

2.1. Відп.

2.2.Відп. 2.

2.3.Відп. 0.

2.4.Відп..

2.5.Відп.