Хвилеводи. Спрямовуючі системи та спрямовані хвилі. Двоплощинний хвилевід. Порядок визначення складових поля спрямованих хвиль, страница 5

Введемо вектор  тоді з урахуванням виразів (1.6.1) - (1.6.4) маємо:

                    (1.6.5)

          (1.6.6)

Визначивши  з виразу (1.6.5) і підставивши його у вираз (1.6.6), отримаємо:

,                                  (1.6.7)

Тобто вектори  і  у хвиль типу Е є взаємно перпендикулярними. Тоді вираз (1.6.7) можна переписати у скалярному вигляді:

або

,

де  - хвильовий опір вакууму, який заповнює хвилевід .

Відношення поперечної складової електричного поля  до поперечної складової магнітного поля  називається хвильовим опором хвилеводу. Отже, хвильовий опір хвилеводу з хвилею Е типу  буде дорівнювати:

                                             (1.6.8)

У випадку, коли хвилевід заповнений діелектриком з параметрами  то

,                                            (1.6.9)

де .

Для електромагнітних хвиль Н типу  з рівнянь (1.6.7) – (1.6.9) матимемо:

                                       (1.6.10)

                                           (1.6.11)

                                           (1.6.12)

                                           (1.6.13)

Діючи аналогічно попередньому випадку (випадку для хвиль Е типу), з урахуванням виразів (1.6.10) - (1.6.13) матимемо:

,                           (1.6.14)

або  ,                             (1.6.15)

коли хвилевід заповнений діелектриком з хвильовим опором .

1.7 Прямокутний хвилевід

Прямокутний хвилевід, який є представником спрямовуючих систем, представляє собою металеву трубу прямокутного перетину. У такому хвилеводі можуть поширюватися хвилі

Рисунок 1.7.1

Е та Н типів. Розмістимо хвилевід у декартові системі координат, як це показано на рис 1.7.1.

1.7.1 Хвилі електричного типу

Складові поля Е хвиль будемо визначати за порядком, викладеним у підрозділі 1.4. Запишемо рівняння Гельмгольця для спрямованих хвиль (1.3.5), яке у даному випадку буде таким:

                                 (1.7.1)

Розв’яжемо це рівняння, розділивши змінні за методом Фур’є. Для цього його розв’язок представимо у вигляді добутку:

                                       (1.7.2)

де  - є функція лише координат  - функція лише координат.

Підставивши (1.7.2) в (1.7.1) і розділивши отриманий результат на  матимемо:

                                     (1.7.3)

де х та у – незалежні змінні, що і дало право нам замінити частинні похідні на повні.

У лівій частині рівняння (1.7.3) маємо суму двох функцій, які є незалежними одна від одної. Сума цих функцій дорівнює сталій величині. Це можливо, коли кожна з них буде дорівнювати своїй сталій величині, тобто:

та                          (1.7.4)

де .

Перепишемо рівняння (1.7.4) у такому вигляді:

та                           (1.7.5)

Як відомо з курсу вищої математики, такі лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами мають загальні розв’язки виду:

                                   (1.7.6)

Після підстановки (1.7.6) в (1.7.2) для повздовжньої складової  хвилі матимемо:

          (1.7.7)

Виходячи з граничних умов для  на стінках хвилеводу (ця складова є тангенціальною до них) запишемо:

1)  При  (права стінка хвилеводу):

.

У цьому виразі один зі співмножників має дорівнювати нулю при будь – яких значеннях y та z. Це можливо лише коли  а отже:

.

2)  При  (ліва стінка хвилеводу):

.

Що можливо при  . Звідки  і

,                                                 (1.7.8)

а отже                .

3)  При  (нижня стінка хвилеводу):

,

звідки      і    .

4)  При  (верхня стінка хвилеводу):

,

звідки   ,       і

,                                                  (1.7.9)

а отже                      .

Оскільки розмірність добутку довільних коефіцієнтів інтегрування, як бачимо з останнього виразу, збігається з розмірністю  введемо позначення  і тоді:

.            (1.7.10)

Поперечні складові знайдемо, скориставшись формулами (1.6.1) – (1.6.4):

,

,

,

.

Таким чином, вираз для комплексних амплітуд складових поля Е хвилі у прямокутному хвилеводі мають вигляд:

         (1.7.11)