де ,
-
поперечні координати відповідної ортогональної системи координат.
Нагадаємо, що оператор Лапласа (набла
квадрат):
Підставивши (1.3.1) та (1.3.2) у рівняння Гельмгольця, отримаємо рівняння:
, (1.3.3)
,
(1.3.4)
або, позначивши ,
матимемо рівняння:
,
(1.3.5)
(1.3.6)
які , як і (1.3.3) - (1.3.6) називаються рівняннями Гельмгольця для спрямованих хвиль, а g – поперечним хвильовим числом.
Повздовжне хвильове число буде
дорівнювати:
(1.3.7)
У виразах (1.3.1) та (1.3.2) множник вказує не на те, що хвиля
поширюється вздовж хвилеводу. При цьому
-
повинне бути дійсним числом.
Розглянемо такі можливі випадки:
1. ,
- дійсне число і хвиля буде
поширюватися вздовж осі OZ хвилеводу.
2. ,
=0, поширення хвилі неможливе.
3. ,
- уявне число. Припустимо
=-jp, де р – дійсне число. Тоді
множник
=
з
фазового перетворюється на амплітудний, тобто хвиля щвидко згасає вздовж осі OZ
і поширюватися не може.
Отже, другий випадок є критичним, тобто умовою
припинення поширення хвилі вздовж хвилеводу. Оскільки є
константами, другий випадок можливий на якійсь певній частоті роботи
генератора. Назвемо цю частоту критичною і тоді:
або
(1.3.8)
де - швидкість світла у вакуумі.
Таким чином, умовою поширення хвилі вздовж спрямовульної системи (хвилеводу) є вираз:
(1.3.9)
де - кругова (циклічна) частота
генератора хвилі. При
поширення
хвилі у хвилеводі припиняється і при подальшому зменшенні частоти генератора
поширення залишається неможливим. Режим роботи хвилеводу при
називається закритичним.
Критичній частоті відповідає критична довжина
хвилі яку визначаємо зваживши,
що
:
або
(1.3.10)
а умовою поширення хвилі є:
(1.3.11)
1.4 Порядок визначення складових поля спрямованих хвиль
Для визначення виразів для складових поля спрямованих
хвиль потрібно розв’язати векторні рівняння (1.3.5) та (1.3.6), а оскільки
кожному з них відповідають три скалярних рівняння, то необхідно розв’язати
шість рівнянь. Такий шлях є дуже громіздким. Виберемо інший шлях: розв’яжемо
два скалярних рівняння Гельмгольця відносно повздовжніх складових та
,
а чотири поперечних складових, скориставшись виразами для них, визначимо через
знайдені повздовжні складові.
Для отримання таких виразів скористаємося проекціями 1-го та 2-го векторних рівнянь Максвелла, записаних у диференціальній формі для монохроматичних коливань:
Декартова система координат
Проекції на вісь OX:
(1.4.1)
(1.4.2)
Проекції на вісь OY:
(1.4.3)
(1.4.4)
Оскільки у спрямовуючій системі ,
,
,
,
складові з похідними по Z можна переписати так:
тоді вирази (1.4.1) – (1.4.4) матимуть вигляд:
,
; (1.4.5)
,
(1.4.6)
Розв’язуючи систему рівнянь (1.4.5) відносно та систему (1.4.6) відносно
, отримаємо:
, (1.4.7)
, (1.4.8)
, (1.4.9)
. (1.4.10)
Циліндрична система координат
Діючи аналогічно, будемо мати:
, (1.4.11)
, (1.4.12)
, (1.4.13)
. (1.4.14)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.