Найдем аналитическое выражение стабильной траектории.
Точкам, выбранным на диаграмме (a, q) области стабильности (см. рис. 4), соответствуют чисто
мнимые дробные значения показателя степени в
решении канонического уравнения Матье (17):
, 0<
<1.
(20)
Выражение (17) с учетом (20) можно преобразовать к виду
(21)
где
и
-
четная и нечетная функции Матье действительного дробного порядка
[15]. Разложение этих функций в ряд по
тригонометрическим функциям имеет вид:
(22)
(23)
где С0=1, а К – нормирующий множитель [15].
Из общего решения (21) для канонического уравнения Матье (16) можно найти общие
решения для уравнений (12) и (13):
(24)
(25)
где 0<<1;
0<
<1; A, B, C, D –
постоянные интегрирования. Соотношения (24) и (25) представляют собой
аналитическое выражение траектории стабильного иона в параметрической форме.
Постоянные интегрирования находятся по известным начальным условиям,
обозначаемым
и
;
и
,
и соответствующим моменту времени
:
;
(26)
;
(27)
;
(28)
(29)
Соотношения (24)-(29) однозначно и точно определяют
траекторию стабильного иона в плоскости (x,y). Решение уравнения (14) идентично выражению (10),
которое при С5= и С6=0
и для новой переменной
имеет вид
(30)
где ;
- составляющая начальной скорости
иона в направлении оси z при влете в анализатор.
Для ионов с параметрами, соответствующими нестабильной
области диаграммы (a, q),
обозначенной двойной штриховкой (см. рис. 4), значение показателя в решении (17), зависящее от
значений a и q, действительно и в направлении x
равно
, а в направлении
равно
.
Аналитические выражения для параметров нестабильной траектории вытекают из выражения
(17) и имеют вид
(31)
(32)
где функции и
определяются, а
и
-
постоянные интегрирования. Составляющая нестабильной траектории вдоль оси
по-прежнему определяется выражением
(30). Поскольку при нормальной работе анализатора область, обозначенная двойной
штриховкой, никогда не
пересекается прямой (18), а, напротив,
проходит ниже ее и пересекает область стабильных значений, или системой
выражений (25), (30) и (31), если параметры иона соответствуют точке (a, q), лежащей на прямой
(18) справа от области стабильных значений, или системой выражений (25), (30) и
(32), если точка (a, q)
лежит слева от области стабильных значений. В первом случае нестабильный ион
попадает на один из двух электродов анализатора, пересекающих ось х, во втором
– на один из двух электродов, пересекающих ось y
(см. рис. 1). Две группы постоянных интегрирования и
, соответствующих первому и второму
случаям, рассчитывают с помощью соотношений, аналогичных выражениям (26)-(29).
Методику сколь угодно точного расчета значений и
,
а через них значений
и
входящих
в выражения для
и
,
можно найти в [1].
Качественно уже было показано, что разрешающая способность
квадрупольного масс-спектрометра тем выше, чем ближе к вершине диаграммы
стабильности () (см. рис. 4) прямая (18),
пересекающая область стабильных значений (a,q). Из теории уравнения Матье [15] известно,
что чем ближе расположена точка (
). находящаяся в
области стабильности, к одной из границ этой области, тем меньше отличается
значение
в выражениях (22) и (23) от 0 и 1.
Так, с приближением точки (
) к правой границе
диаграммы стабильности значение
[см. уравнение (24)] увеличивается и стремится к 0. Из
сказанного следует, что должна существовать однозначная связь между разрешающей
способностью и значениями
и
.
В [1]
получены зависимости - и
-параметров
траектории ионов от
в явном виде:
(33)
(34)
Характерное отличие между этими функциями заключается в
том, что х-параметр траектории иона меняет знак каждые , а y-параметр
через каждые
, что объясняется наличием
в выражении (33) сомножителя
перед квадратной
скобкой. Указанное отличие, практически никак не используемое в классическом
квадрупольном масс-спектрометре, делает возможным построение так называемого
однопольного масс-спектрометра, являющегося своеобразной модификацией
квадрупольного масс-спектрометра.
Из анализа выражений (33) и (34) можно сделать следующие
выводы: отклонения стабильного иона от оси квадрупольного анализатора тем
больше, чем при прочих равных условиях больше угол влета иона относительно оси,
чем дальше от оси место влета и чем ближе точка, характеризующая ион на
диаграмме стабильности к одной из ее границ, т.е. чем меньше значения и
.
Из перечисленных обстоятельств можно сделать вывод о необходимости ограничения определенными пределами начальных условий влета ионов, для того, чтобы обеспечить при анализе условия 100% прохождения стабильных ионов через анализатор. Это необходимо для облегчения количественной расшифровки полученного с помощью прибора спектра масс.
3. Условия фильтрации ионов
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.