Методические указания к лабораторным работам "Изучение свободных колебаний связанной системы тел", "Изучение релаксационных электрических колебаний", "Изучение затухающих электромагнитных колебаний в колебательном контуре с помощью осциллографа", "Вынужденные колебания в последовательном электрическом контуре", страница 9

Список литературы

1.  Савельев И.В. Курс общей физики в 3-х тт. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – М.: – Наука, 2005. – 496 с.

2.  Селезнёв В.А., Тимофеев Ю.П. Методические указания к вводному занятию в лабораториях кафедры физики. – М.: МИИТ, 2006. – 30 с.

Работа 30

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

Цель работы: изучение вынужденных колебаний в последовательном электрическом контуре, определение добротности контура и внутреннего сопротивления генератора синусоидальных колебаний.

Приборы и принадлежности: колебательный контур, генератор синусоидальных колебаний, электронный осциллограф, соединительные провода.

Введение

Вынужденные электромагнитные колебания в электрическом контуре, содержащем емкость C, индуктивность L и активное сопротивление R (рис. 1), можно вызвать, если включить последовательно с элементами контура источник тока, э. д. с. которого изменяется по гармоническому закону

E= E₀cosWt.                                          (1)

Для получения дифференциального уравнения, описывающего вынужденные колебания, запишем для этого контура закон Ома:

IR + U = E - L,                                     (2)

где U – напряжение на конденсаторе.

Поскольку U=q/C, получаем:

I =  = C;          =C.

Подставим эти выражения в уравнение (2):

LC + CR + U = E₀cosWt.

Разделив обе части полученного равенства на LC и введя обозначения b =  и w₀² = , получим дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний:

 + 2b + w₀²U = E₀w₀²cosWt,                       (3)

в котором b – коэффициент затухания; w₀ – собственная циклическая частота колебаний (при R = 0).

Решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

U = U₀cos(Wt - y),                                      (4)

где:

U₀ = ,                               (5)

tgy = .                                        (6)

Таким образом, амплитуда U₀ и начальная фаза y  вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе зависят от частоты вынуждающей э. д. с.

Исследуя уравнение (5) на экстремум, можно показать, что разность потенциалов на конденсаторе достигнет максимума при частоте вынуждающей э. д. с., равной

W_РЕЗ = .                                       (7)

При этом максимальное значение амплитуды составляет

U_{0 РЕЗ} = .                                     (8)

Соотношение (8) имеет смысл только при w₀² > b².

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний напряжения при изменении частоты вынуждающей э. д. с. называется резонансом. Частота, при которой наступает это явление, называется резонансной частотой.

Кривая зависимости U₀ от W при заданном значении коэффициента затухания называется резонансной кривой. На рис. 2 представлено семейство резонансных кривых 1, 2, 3, соответствующих различным значениям коэффициента затухания b₁, b₂, b₃, при этом b₃ > b₂ > b₁.

Как следует из уравнения (5) и рис. 2, U₀ = E₀ при любом значении коэффициента затухания, если W = 0. Кроме того, резонансная частота при увеличении коэффициента затухания смещается в сторону меньших значений, а амплитуда напряжения, соответствующего резонансу, убывает с увеличением b. Следует отметить, что максимальное значение тока в рассматриваемом контуре достигается при одной и той же частоте W = w₀ при любых значениях b.

Остроту резонансных кривых характеризует добротность контура. При слабом затухании добротность контура Q можно определить как величину, равную произведению 2p на отношение запасенной в катушке индуктивности энергии W₀ к энергии тепловых потерь W_R в контуре за время, равное периоду T:

Q = 2p.

Методы определения добротности

Можно показать, что для контура, изображённого на рис. 1,

Q =  = ,                                    (9)

R_П = r + R + R_L,

где R_П – полное сопротивление цепи; r – внутреннее сопротивление источника тока; R – сопротивление резистора, включенного в контур; R_L – активное сопротивление катушки индуктивности.

1. Расчет теоретического значения добротности Q_ТЕОР

Добротность контура Q_ТЕОР можно рассчитать по формуле (9), зная параметры электрической цепи R_П, L и C.

2. Определение добротности по измерениям резонансного напряжения U_{0 РЕЗ} и амплитуды вынуждающей э. д. с. E₀

Соотношение (8) при малых коэффициентах затухания принимает вид

U_{0 РЕЗ} =  = E₀Q,

откуда

Q = .                                          (10)

3. Определение добротности по ширине резонансной кривой

Шириной резонансной кривой называется разность частот W₁ и W₂, при которых достигается эффективное значение резонансного напряжения на конденсаторе, равное (см. рис. 3) U₀ = .

Разность этих частот DW = W₂ - W₁ называется полосой пропускания контура.

Энергия, запасенная в контуре при резонансе, на границах полосы пропускания уменьшается в два раза.

Пользуясь соотношениями (9) и (10) и преобразуя уравнение (5), получаем, что с достаточной степенью точности

Q » .                                            (11)

Таким образом, зная DW и W_РЕЗ, можно вычислить добротность контура.

Расчет добротности этим методом производится с помощью полученной экспериментально резонансной кривой, построенной в координатах U₀ , W: определяются значения W₁ и W₂, соответствующие напряжению U₀ =  » 0,7U₀ слева и справа от максимума, после чего вычисляется их разность DW = W₂ - W₁.

В данной работе циклическим частотам W_РЕЗ, W₁ и W₂ соответствуют значения частоты генератора f = W/(2p) [Гц], поэтому

Q = .                                          (12)

Метод измерения и описание аппаратуры