то оно перейдет в первое уравнение, с тем лишь отличием, что точке равновесия осциллятора, совпадающей с началом отсчета координаты *, теперь соответствует точка ***. Это отличие совершенно не существенно и означает лишь то, что функция *** перейдет теперь в ***. В связи с этим нет необходимости заново решать уравнение (31.15), поскольку можно воспользоваться ранее полученными результатами для осциллятора.
Из выражения для энергетических уровней осциллятора
***
и сопоставления (31.17) и (31.15) находим
(31.19)
Первое слагаемое в этом выражении отвечает кинетической энергии электрона, движущегося вдоль магнитного поля, второе слагаемое -- энергии поперечного движения.
Мы видим, что для электрона, движущегося в однородном магнитном поле, энергия стационарных состояний является функцией от двух параметров -- непрерывного параметра ** и дискретного целочисленного параметра **. Получен совершенно новый тип энергетического спектра, ранее нам не встречавшийся. Строго говоря, он является непрерывным, но в то же время обладает характерными свойствами дискретного спектра. Такой тип спектра получил название квазидискретного.
Если при квантовых переходах из одного стационарного состояния в другое сохраняется продольный импульс электрона (составляющая импульса вдоль магнитного поля), то возникает картина строго дискретного спектра с расстояниями между спектральными линиями ***. Спектры такого типа экспериментально наблюдаются в магнитооптике полупроводников.
Задача о квантовании движения электрона в магнитном поле впервые была решена Л.Д.Ландау в 1930 г., поэтому энергетические уровни вида (31.19) принято называть уровнями Ландау.
Волновую функцию стационарных состояний электрона в магнитном поле, так же как энергетический спектр, мы получили из сравнения с задачей об осцилляторе. Для осциллятора мы имели (см. формулу (12.28))
(31.20)
Проводя подстановку
***
получим
(31.21)
Обычно вводится параметр ***, имеющий размерность длины, и носящий название "магнитной длины" или квантового ларморовского радиуса. Его величина не зависит от массы электрона. Масса в нем сокращается, поскольку ***:
(31.22)
Волновая функция стационарного состояния с учетом зависимости от * и *, согласно (31.13) может быть представлена в виде:
(31.23)
Следовательно, стационарное состояние электрона определяется заданием трех параметров: *, ** и ** (или ***). В то же время энергетические уровни этих состояний, согласно (31.19), зависят только от * и **. Таким образом, каждому энергетическому уровню отвечает бесконечное множество состояний, поскольку ** может принимать все значения от - ** до + **. Мы встречаемся здесь со случаем бесконечно кратного вырождения энергетических уровней. Факт такого вырождения нетрудно понять, обращаясь к классической картине движения электрона. Значение *** отвечает центру ларморовского вращения электрона, и если магнитное поле однородно, то от положения этого центра энергия электрона, естественно, зависеть не может.
Мы рассмотрели действие магнитного поля на свободный электрон, т.е. электрон, не подверженный влиянию каких-либо других сил. Большой физический интерес представляют задачи, когда наряду с магнитным полем на электрон действует некоторое потенциальное поле, например, электростатическое поле Кулона. Этот частный случай соответствует атому водорода, помещенному в однородное магнитное поле. В проблемах астрофизики, а также в задачах магнитооптики полупроводников возможны условия, когда действие на электрон со стороны магнитного поля будет более сильным, чем действие кулоновского поля. В этом случае полученное выше решение можно принять за нулевое приближение, а кулоновский потенциал рассматривать как возмущение.
ЛЕКЦИЯ 32
АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ТЕОРИИ МОЛЕКУЛ
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.