Квантование движения электрона в постоянном и однородном магнитном поле, страница 11

Прежде чем решать уравнение Шредингера, выясним физический смысл амплитуды рассеяния ***. С этой целью окружим силовой центр сферой большого радиуса *** и рассмотрим поток вероятности в рассеянной волне под углом * через элемент поверхности сферы

***

рисунок

Этот поток равен

(35.6)

С учетом выражения (35.3) для плотности потока в падающей волне соотношению (35.6) можно придать вид:

(35.7)

Отношение

(35.8)

характеризует "способность" силового центра отклонить частицу на угол * и носит название дифференциального сечения рассеяния. Проинтегрировав по всем углам, получим величину

(35.9)

называемую полным сечением рассеяния.

Обратим внимание на то, что при вычислении потоков вероятности мы не принимали во внимание возможной интерференции падающей и рассеянной волн, считая их пространственно разделенными. Такая интерференция будет иметь место только для очень малых интервалов углов

(35.10)

Пренебрегая этими малыми интервалами, говорят о величине *** как об амплитуде рассеяния вперед, и о величине *** -- амплитуде рассеяния назад.

3. Интегральная форма стационарного уравнения Шредингера

Для рассмотрения многих вопросов теории рассеяния удобно перейти от дифференциальной формы уравнения Шредингера (35.5) к его интегральной форме. Такой переход совершается с помощью функции Грина, определяемой уравнением

(35.11)

Функция Грина позволяет представить общее решение неоднородного уравнения вида:

(35.12)

как сумму общего решения однородного уравнения

(35.13)

и частного решения неоднородного уравнения. Это представление будет иметь вид:

(35.14)

Действительно, действуя на обе части равенства (35.14) оператором *** и используя уравнение (35.11), мы убеждаемся, что функция * удовлетворяет уравнению (35.12).

В уравнении Шредингера (35.5) мы можем формально рассматривать правую часть как неоднородность. Тогда в соответствии с (35.12) и (35.14) приходим к интегральному уравнению

(35.15)

Согласно изложенной выше постановке задачи о рассеянии, внеинтегральная функция **, описывающая свободное движение частиц, должна быть выбрана в виде

(35.16)

т.е. представлять собой падающую волну. Тогда интегральное слагаемое в (35.15) будет описывать рассеянную волну. Это налагает на функцию Грина вполне определенное условие, а именно она должна вести себя как расходящаяся сферическая волна. Удовлетворяющая этому условию функция Грина известна

(35.17)

Подставляя это выражение, а также функцию (32.16) в интегральное уравнение (35.15), приводим его к окончательному виду:

(35.18)

Мы получаем, таким образом, интегральное уравнение, решения которого удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению (уравнению Шредингера (35.5), и, кроме того, они автоматически удовлетворяют требуемому асимптотическому поведению (35.2). Чтобы непосредственно убедиться в этом, рассмотрим интеграл в (35.18) при больших значениях *, а именно при **, где ** -- радиус действия потенциала **. Нетрудно видеть, что основной вклад при интегрировании по * вносит область с линейным размером порядка **. Поэтому неравенство *** одновременно означает, что ***. Используя это неравенство, мы можем в интеграле (35.18) приближенно положить

(35.19)

При этом в знаменателе подынтегрального выражения малое слагаемое ** может быть отброшено, а в показателе осциллирующей экспоненты оно должно быть сохранено, поскольку величина *** может оказаться порядка единицы, т.е. порядка периода экспоненциальной функции. После выполнения указанных приближений уравнение (35.18) в асимптотической области *** принимает вид:

(35.20)