Квантование движения электрона в постоянном и однородном магнитном поле, страница 12

Строго говоря, это уже не уравнение для определения неизвестной функции, поскольку слева и справа стоят разные величины: ** и ... Сравнение этого соотношения с асимптотическим выражением (35.2) подтверждает сделанное ранее предположение о структуре рассеянной волны. Из (35.20) мы получаем формулу для амплитуды рассеяния

(35.21)

Эта формула является одним из основных соотношений теории рассеяния, хотя она и не дает решения задачи о нахождении амплитуды или сечения рассеяния, поскольку под знаком интеграла стоит пока неизвестная функция ***.

4. Борновское приближение

При определенных условиях, о которых речь пойдет ниже, рассеивающий потенциал можно считать достаточно слабым и решать интегральное уравнение Шредингера с помощью итераций:

(35.22)

где за нулевое приближение ** берется волновая функция частицы в отсутствии рассеивателя, т.е. падающая волна

(35.23)

Результатом первого приближения согласно (35.18) является

(35.24)

Общее выражение для членов итерационного ряда может быть представлено в виде рекуррентного соотношения:

(35.25)

Получаемый при этом ряд (35.22) носит название борновского разложения.

Рассмотрим выражение для амплитуды рассеяния ** в первом борновском приближении. Для этого воспользуемся общим выражением для ** (формулой (35.21)). Поскольку эта величина уже содержит в себе первую степень потенциала ***, волновая функция в подынтегральном выражении должна быть функцией нулевого приближения, т.е. падающей волной. При этом мы получим

(35.26)

Для преобразования интеграла удобно ввести единичный вектор ** вдоль направления падающей волны. После этого показатель степени экспоненты преобразуется к виду:

(35.27)

где *** носит название вектора столкновения.

Вычисление интеграла в (35.26) проведем в сферических координатах с полярной осью, направленной вдоль вектора **. Тогда

(35.28)

Подставляя это выражение в (35.26), получаем

(35.29)

Зависимость от угла рассеяния * определяется величиной *:

(35.30)

Из формул (35.29) и (35.30) видим, что рассеяние медленных частиц в пределе *** становится изотропным: *** не зависит от угла *. Из этих же формул следует, что амплитуда "рассеяния вперед", т.е. величина ***, не зависит от скорости частицы.

Используя связь амплитуды рассеяния ** с дифференциальным сечением **, получаем:

(35.31)

В ядерной физике это соотношение носит название формулы Борна.

5. Условия применимости борновского приближения

Борновское разложение, определяемое соотношениями (35.22)-(35.25), дает удовлетворительное решение задачи рассеяния только при условии его достаточно быстрой сходимости. Поскольку члены высокого порядка в этом разложении вычислить очень трудно, обычно ограничиваются первым приближением и в качестве критерия сходимости используют сравнение нулевого и первого приближений.

Будем считать необходимым и достаточным выполнение условия

***

Согласно (32.24) отсюда следует

(35.32)

С ростом * выражение, стоящее слева, уменьшается, поэтому для выполнения неравенства достаточно удовлетворить его при **, т.е. потребовать

(35.33)

Величина интеграла в полученном неравенстве определяется соотношением трех параметров, которые могут изменяться от задачи к задаче. Этими параметрами являются

1) величина потенциала, *;

2) радиус действия потенциала, *;

3) скорость частицы *, определяющая волновое число * и энергию частицы ***.

Роль первого из этих параметров очевидна -- чем он меньше, тем лучше. Параметры * и ** входят в неравенство более сложным образом. Важную роль играет соотношение между ними.

Рассмотрим два предельных случая.

1. ***. При этом *** ("медленные" частицы). В этом случае справедлива оценка

***

и критерию (32.33) можно придать вид:

(35.34)

или

(35.35)