Строго говоря, это уже не уравнение для определения неизвестной функции, поскольку слева и справа стоят разные величины: ** и ... Сравнение этого соотношения с асимптотическим выражением (35.2) подтверждает сделанное ранее предположение о структуре рассеянной волны. Из (35.20) мы получаем формулу для амплитуды рассеяния
(35.21)
Эта формула является одним из основных соотношений теории рассеяния, хотя она и не дает решения задачи о нахождении амплитуды или сечения рассеяния, поскольку под знаком интеграла стоит пока неизвестная функция ***.
4. Борновское приближение
При определенных условиях, о которых речь пойдет ниже, рассеивающий потенциал можно считать достаточно слабым и решать интегральное уравнение Шредингера с помощью итераций:
(35.22)
где за нулевое приближение ** берется волновая функция частицы в отсутствии рассеивателя, т.е. падающая волна
(35.23)
Результатом первого приближения согласно (35.18) является
(35.24)
Общее выражение для членов итерационного ряда может быть представлено в виде рекуррентного соотношения:
(35.25)
Получаемый при этом ряд (35.22) носит название борновского разложения.
Рассмотрим выражение для амплитуды рассеяния ** в первом борновском приближении. Для этого воспользуемся общим выражением для ** (формулой (35.21)). Поскольку эта величина уже содержит в себе первую степень потенциала ***, волновая функция в подынтегральном выражении должна быть функцией нулевого приближения, т.е. падающей волной. При этом мы получим
(35.26)
Для преобразования интеграла удобно ввести единичный вектор ** вдоль направления падающей волны. После этого показатель степени экспоненты преобразуется к виду:
(35.27)
где *** носит название вектора столкновения.
Вычисление интеграла в (35.26) проведем в сферических координатах с полярной осью, направленной вдоль вектора **. Тогда
(35.28)
Подставляя это выражение в (35.26), получаем
(35.29)
Зависимость от угла рассеяния * определяется величиной *:
(35.30)
Из формул (35.29) и (35.30) видим, что рассеяние медленных частиц в пределе *** становится изотропным: *** не зависит от угла *. Из этих же формул следует, что амплитуда "рассеяния вперед", т.е. величина ***, не зависит от скорости частицы.
Используя связь амплитуды рассеяния ** с дифференциальным сечением **, получаем:
(35.31)
В ядерной физике это соотношение носит название формулы Борна.
5. Условия применимости борновского приближения
Борновское разложение, определяемое соотношениями (35.22)-(35.25), дает удовлетворительное решение задачи рассеяния только при условии его достаточно быстрой сходимости. Поскольку члены высокого порядка в этом разложении вычислить очень трудно, обычно ограничиваются первым приближением и в качестве критерия сходимости используют сравнение нулевого и первого приближений.
Будем считать необходимым и достаточным выполнение условия
***
Согласно (32.24) отсюда следует
(35.32)
С ростом * выражение, стоящее слева, уменьшается, поэтому для выполнения неравенства достаточно удовлетворить его при **, т.е. потребовать
(35.33)
Величина интеграла в полученном неравенстве определяется соотношением трех параметров, которые могут изменяться от задачи к задаче. Этими параметрами являются
1) величина потенциала, *;
2) радиус действия потенциала, *;
3) скорость частицы *, определяющая волновое число * и энергию частицы ***.
Роль первого из этих параметров очевидна -- чем он меньше, тем лучше. Параметры * и ** входят в неравенство более сложным образом. Важную роль играет соотношение между ними.
Рассмотрим два предельных случая.
1. ***. При этом *** ("медленные" частицы). В этом случае справедлива оценка
***
и критерию (32.33) можно придать вид:
(35.34)
или
(35.35)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.