Квантование движения электрона в постоянном и однородном магнитном поле, страница 10

(34.23)

Здесь разложение по степеням (**) не приведено в связи с малостью вращательного слагаемого по сравнению с колебательным (относительная малость (***).

С учетом (34.22) и (34.23) уравнению (34.21) можно придать вид:

(34.24)

Мы пришли, таким образом, у равнению Шредингера для линейного гармонического осциллятора. Его энергетический спектр нам известен:

(34.25)

Отсюда получаем энергетический спектр молекулы:

(34.26)

Теперь остается вспомнить, что у функции ** был опущен индекс *, обозначающий номер электронного терма. Восстанавливая этот индекс, получим

(34.27)

Смысл каждого из этих трех слагаемых очевиден, поэтому легко убедиться, что их величина по отношению друг к другу согласуется с ранее проведенными оценками (см. (32.19), (32.20)).

ЛЕКЦИЯ 35

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

Изучению процессов взаимных столкновений как отдельных частиц, так и квантовых систем (атомов и молекул), посвящен один из наиболее важных и обширных разделов квантовой механики.

В качестве простейшей задачи мы рассмотрим упругое столкновение двух частиц, взаимодействующих сферически-симметричным образом. В такой постановке моделируется задача об электрон-атомных или атом-атомных соударениях, при которых не происходит изменения внутреннего состояния сталкивающихся частиц. Переходом в систему отсчета, связанную с центром масс, эта задача сводится к задаче о рассеянии точечной частицы на сферически-симметричном потенциале.

1. Рассеяние частицы на сферически-симметричном потенциале (постановка задачи)

Мы рассмотрим задачу рассеяния в стационарной формулировке. С точки зрения физического эксперимента постановка задачи сводится к следующему.

Пусть на силовой центр, помещенный в точке ***, падает из бесконечности однородный поток невзаимодействующих частиц, обладающих одинаковой скоростью *. Волновой функцией для этих частиц будет плоская "монохроматическая" волна де Бройля

***, где **, * -- масса частиц.

Будем считать, что линейный размер поперечного сечения пучка * является конечным и достаточно большим по сравнению с длиной волны де Бройля ***, так что диффракционным расхождением пучка можно пренебречь.

Присутствие в точке ** силового центра приведет к тому, что везде в асимптотической области (***, где ** -- радиус действия потенциала) помимо падающей волны будет существовать рассеянная волна

(35.1)

Ниже мы покажем, что рассеянная компонента имеет вид расходящейся сферической волны, и соотношение (35.1) может быть представлено в виде:

(35.2)

Здесь ** -- угол между * и *. Угловая зависимость возникла из-за того, что задача имеет не сферическую, а осевую симметрию с осью, совпадающей с направлением падающего пучка. В дальнейшем будем совмещать это направление с осью *.

Множитель перед экспонентой, описывающей падающий пучок, мы положим равным единице, пользуясь возможностью произвольной нормировки волновой функции. При таком выборе нормировки плотность потока вероятности в падающей волне

(35.3)

т.е. численно она равна скорости частицы. Эту скорость мы можем задавать произвольно, а следовательно, произвольно задается энергия частицы ***. Энергетический спектр частицы является непрерывным. Таким образом, в асимптотическом выражении (35.2) единственной величиной, зависящей от конкретного вида потенциала ***, является функция ***. Эта величина, имеющая размерность длины, получила название амплитуды рассеяния. Находится она путем решения стационарного уравнения Шредингера

(35.4)

которое нам для дальнейшего удобно переписать в виде:

(35.5) .

2. Сечение рассеяния