где ** -- некоторое среднее значение энергии взаимодействия.
Для потенциала притяжения (**) условие (35.35) означает, что в потенциальной яме не может существовать локализованных стационарных состояний. Для реальных потенциалов, например в задачах ядерной физики, это условие обычно не выполняется, и поэтому борновское приближение для медленных частиц, как правило, оказывается неприменимым.
2. ** (**, "быстрые" частицы). В этом случае в подынтегральном выражении критерия (35.33) существенную роль играет осциллирующая экспонента. На фоне ее быстрых осцилляций можно считать потенциал медленной функцией и вынести его из-под знака интеграла. После этого интеграл может быть вычислен и неравенство (35.33) преобразовано к виду:
(35.36)
Выражая волновое число * через скорость *, получаем
(35.37)
Важным примером применения борновского приближения является рассеяние на кулоновском потенциале
***
Приведенные выше оценки, строго говоря, не применимы к этому случаю, поскольку кулоновский потенциал является дальнодействующим и не обладает конченым значением **. Однако если формально ввести обрезку потенциала и положить
*** при ***, при ***
то произведение ***, входящее в неравенство (35.37), оказывается не зависящим от **, а критерий применимости борновского приближения принимает вид:
(35.38)
Более строгий анализ подтверждает полученный результат.
Итак, подводя итоги, можно сказать, что борновское приближение оказывается тем точнее, чем выше скорость частицы, испытывающей рассеяние.
6. Рассеяние быстрых заряженных частиц атомами
В качестве конкретной физической задачи, для решения которой можно использовать борновское приближение, рассмотрим рассеяние быстрых заряженных частиц атомами.
Чтобы избежать непринципиальных усложнений задачи, мы предположим, что масса ядра атома много больше массы рассеиваемых частиц, и, таким образом, атом будет выступать как неподвижный силовой центр. Заряд ядра нейтрализуется атомными электронами, которые можно считать непрерывно распределенными вблизи ядра с некоторой плотностью **. Ядро атома будем считать точечным и расположенным в точке ***.
Ядро атома и его электронные оболочки создают статический потенциал ***, и следовательно, налетающие на атом частицы оказываются в силовом поле с потенциальной энергией
***, где * -- заряд рассеиваемых частиц.
Будем исходить из выражения для амплитуды рассеяния в первом борновском приближении (см. формулу (35.26)). В рассматриваемой задаче оно приобретает вид:
(35.39)
где *** .
Мы видим, что амплитуда рассеяния с точностью до постоянного множителя совпадает с Фурье-компонентой потенциала **:
(35.40)
В свою очередь, из уравнения Пуассона, определяющего потенциал через плотность заряда:
(35.41)
следует простая связь Фурье-компоненты потенциала с Фурье-компонентой плотности заряда:
(35.42)
Используя это соотношение, находим:
(35.43)
Полученную формулу обычно представляют в виде:
(35.44)
где величина
(35.45)
носит название атомного формфактора (напомним, что ***.)
Переходя от амплитуды рассеяния ** к дифференциальному сечению, получаем
(35.46)
Подставляя сюда выражение для * через угол рассеяния и скорость налетающей частицы:
*** , находим окончательный результат:
(35.47)
Проиллюстрируем его двумя простыми примерами.
1. Пусть атом полностью ионизирован и представляет собой "голое" ядро с зарядом **. В этом случае ***, а
(35.48)
Получившееся выражение есть не что иное, как знаменитая формула Резерфорда, описывающая рассеяние электронов на кулоновском центре. Заметим, что эта формула обладает удивительным "запасом прочности". Точно к такому же выражению приводит расчет, основанный на законах не квантовой, а классической механики. Но еще более удивительно то, что это же выражение, найденное здесь в первом порядке теории возмущений, совпадает с результатом совершенно строгого расчета, эквивалентного суммированию всех членов борновского разложения. Эти особенности формулы Резерфорда выражают собой еще одно удивительное свойство кулоновского потенциала.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.