3. Подход к моделированию на основе логистических уравнений может служить основой для планирования лабораторных экспериментов и натурных наблюдений над популяциями самых разных типов и в различных режимах с целью получения качественно новых знаний об исследуемых популяциях и для повышения точности определения количественных характеристик управляющих параметров модели в практических целях.
4. Эффективному решению задач моделирования может способствовать планируемая разработка специализированной интерактивной многопользовательской системы (сайта) на базе web-узла университета (http://www.kmti.edu.ua) с использованием стандартных средств современного программирования для моделирования и накопления натурных данных и получаемых результатов.
Под термином «идентификация модели» понимается процедура подбора параметров уравнений модели, наилучших с точки зрения некоторого критерия. Из дисциплины «Статистические методы обработки данных», известно, что в случае линейной регрессии в качестве критерия часто используется минимум суммы квадратов отклонений (невязок) наблюдений значений от значений регрессии. При определённых предположениях относительно невязок обеспечиваются наилучшие в статистическом смысле оценки параметров. Подбор параметров уравнения в этом случае проще всего осуществляется за один приём путём решения так называемой системы нормальных уравнений. Такой метод называют линейным методом наименьших квадратов (далее - линейный МНК или ЛМНК). Уравнения логистических моделей нелинейны по параметрам и поэтому при использовании в качестве критерия минимума суммы квадратов отклонений подбор параметров осуществляется итерационными методами. Такой метод часто называют нелинейным методом наименьших квадратов (далее - нелинейный МНК или НМНК). При отсутствии предположений о невязках линейный и нелинейный МНК всё равно применяются в силу их вычислительных преимуществ перед другими методами, а приемлемость получаемых при этом параметров и моделей в целом определяется изходя из потребностей конкретной предметной области. Здесь будет рассмотрен метод идентификации на примере модели Ферхюльста. Для модели Рикера этот метод несложно использовать по аналогии.
Кроме суммы квадратов отклонений при подборе параметров итерационными методами можно использовать и другие целевые функции, например, в нашем случае такой функцией может быть сумма выловов и тогда выполняется максимизация целевой функции, а не минимизация, как при использовании суммы квадратов невязок. В общем случае задача подбора наилучших в смысле некоторого критерия (оптимальных) параметров относится к задачам нелинейного программирования. Задачи нелинейного программирования можно разделить на задачи с ограничениями и без ограничений. Кроме этого, в зависимости от вида целевой функции выделяют задачи выпуклого и невыпуклого программирования. Существует большое число методов оптимизации для решения задач нелинейного программирования, которые применительно к обработке результатов измерений подробно рассматриваются, например, в книге [6]. Выделяют прямые и непрямые методы оптимизации (максимизации и минимизации). В прямых методах поиск точки экстремума начинается с произвольной точки и осуществляется путём последовательных улучшений. В непрямых методах точки экстремумов находят из условия равенства нулю первой производной от целевой функции.
Целевые функции для идентификации модели Ферхюльста, как правило, являются дифференцируемыми и выпуклыми. Это означает, что у такой целевой функции локальный экстремум одновременно является глобальным, что существенно упрощает задачу оптимизации параметров. Короче говоря, для идентификации модели в нашем случае достаточны простые итерационные методы, имеющиеся, например, в MS Excel (опция Сервис – Поиск решения), а именно: квазиньютоновский метод и (или) метод сопряжённых градиентов. Кроме этого, часто достаточно использования прямых методов, легко реализуемых средствами клиентского программирования [3].
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.