Промышленность \ Моделирование технологических процессов в рыбоводстве

Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине "Моделирование технологических процессов в рыбоводстве", страница 11

В дополнение к табл. 3.1 для анализа динамики численности популяции при переходе к устойчивому состоянию (переходный режим) полезно также учитывать условия:

-1<df(x*)/dx<0

(3.17)

- последовательность в виде затухающих колебаний стремятся к  x*;

0< df(x*)/dx <1

(3.18)

- последовательность монотонно стремится к  x*.

Точное значение устойчивого состояния x* может быть найдено из уравнений:

x*= x*·l· (1- x*)

(3.19)

- для уравнения Ферхюльста;

x*=  x*·exp[l’’  · (1- x*)]

(3.20)

- для уравнения Рикера.

При использовании не нормированных, а исходных уравнений (3.4)  и (3.5) для определения устойчивого состояния необходимо произвести перерасчёт по формулам (3.7).

Анализ поведения динамики «логистических» популяций  удобно также осуществлять в графическом виде с использованием «инструментария» [1,5,7]: графиков последовательностей, диаграмм Кёнигса-Ламерея и фазово-параметрических диаграмм.

Рис. 3.1. Графики хода последовательности (а), диаграмма Ламерея (б) и фазово-параметрическая диаграмма (в) для  значений параметра  l’=3.505 и l’ =3.0.

На рис. 3.1а в виде прямой линии показан график установившегося временного хода стационарной последовательности при l’ =3.0. На диаграмме Ламерея (рис. 3.1б) этому режиму  соответствует неподвижная точка x*=0.665. При дальнейшем увеличении параметра l’  ранее существовавшая стационарная последовательность теряет устойчивость, появляются колебания  вначале из-за возникновения цикла с периодом 2 (на рис. 3.1 не показаны),  а затем – колебания из-за цикла с периодом 4, и при l’ ≈ 3.505 эти колебания отражают сверхустойчивый цикл порядка 4.

На рис. 3.1а наглядно показаны три составляющие, формирующие цикл 4. Сплошной линией выделен график хода последовательности {f (xt)}. Тонкими штриховыми линиями изображены графики хода последовательностей  {f 2(xt)}, каждую из которых можно рассматривать как цикл порядка 2. В результате нелинейного взаимодействия составляющие  формируют цикл порядка 4. Изображённую на рис.3.1а циклическую последовательность {f(xt)} можно интерпретировать как модель динамики популяции, численность которой формируется за счёт взаимосвязанных колебаний численности подпопуляций двух возрастных групп. Динамику каждой подпопуляции, в свою очередь, можно исследовать отдельно с помощью циклических последовательностей  вида {f 2(xt)}.

Скачать файл