Введение в математическое моделирование. Математические методы и моделирование горной промышленности. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности, страница 2

Задачи, в которых функция и  ограничения не линейны, полностью или частично решаются методами нелинейного программирования.

Задачи, содержащие случайные параметры, решаются методам стохастического программирования.

Задачи, в которых переменные и ограничения могут меняться в определенных пределах, решаются методами параметрического программирования.

Блочное программирование применяется, когда задачи имеют большую размерность. Метод предусматривает разбиение задачи на ряд частных задач меньшей размерности.

Динамическое программирование – метод планирование процесса, который может быть разделен на ряд последовательных этапов.

Когда на операции влияют случайные факторы,  для моделирования используются теория массового обслуживания (расчет количественных характеристик очередей), метод статистических испытаний (для моделирования сложных систем, аналитическое испытание которых затруднено), теория игр (обеспечивает количественное обоснование решение в конфликтных, вероятностных ситуациях), метод сетевого планирования и управления (используется для планирования и координации заданий в рамках комплексных проектов с учетом времени и обеспеченности ресурсами).

Этапы математического моделирования

ü  Умение и постановка задачи

ü  Выбор целевой функции и критерия эффективности

ü  Сбор исходных материалов, выявление управляемых и неуправляемых переменных

ü  Построение математической модели операции

ü  Решение модели, т.е. отыскание оптимума целевой функции

ü  Логическая или экспериментальная проверка моделей и получение решения, при необходимости вносятся поправки в модель

ü  Разработка рекомендаций по внедрению полученных результатов.

Основная задача линейного программирования

Основная задача линейного программирования в каноническом виде формулируется в следующем виде: найти неотрицательное решение системы ограничений.

A_i1X₁+A_i2X₂+…+A_ijX_j+…+A_inX_n +qi=0

X_j>0,j=1,2…n

Обеспечивающая max или min целевой функции.

Z= C₁X₁+C₂X₂+…+C_jX_j+…+C_nX_n +Q→max (min)

Кроме привычной формы записи могут использоваться:

·  Частично-развернутая:

Z=∑C_jX_j+Q→ max (min)

∑A_ijX_j + qi=0

·  Матричная:

Z=C_x+Q→ max (min)

A_x+B=0

Обычно, конкретные задачи линейного программирования имеют отличный от канонического вид, поэтому, чтобы решить такие задачи, их следует привести к каноническому виду.

Z= C₁X₁+C₂X₂+…+C_jX_j+…+C_nX_n +Q→max (min)

A_i1X₁+A_i2X₂+…+A_ijX_j+…+A_inX_n +qi>0

A_i1X₁+A_i2X₂+…+A_ijX_j+…+A_inX_n +q_r<0

A_i1X₁+A_i2X₂+…+A_ijX_j+…+A_inX_n +q_l=0

Замена неравенств уравнениями

Замена системы ограничений неравенств эквивалентной системой уравнений, осуществляется путем введения искусственных неотрицательных переменных (Y).

A_i1X₁+A_i2X₂+…+A_ijX_j+…+A_inX_n +qi - Y_i>0

A_i1X₁+A_i2X₂+…+A_ijX_j+…+A_inX_n +q_r +Y_k<0

Такое преобразование увеличивает число переменных, не меняя существа задачи.

Замена неограниченных переменных

Переменные, которые могут принимать отрицательные значения, выражается через неотрицательные переменные в процессе решения.

Замена переменных представляет собой решение системы относительно заменяемой переменной. После замены задача решается в новых переменных. Оптимальное решение в новых переменных подставляется в уравнение связи. В результате чего получается оптимальное решение в исходных переменных.

4.  Симплексный метод решения задач линейного программирования

Симплексный метод – это математический подход к решению задач линейного программирования и стандартный метод решения задач с более, чем 2-мя переменными.

Вычислительная процедура отыскания оптимального решения задач линейного программирования основывается на следующих теоремах:

  I.  Множество допустимых решений основной задачи линейного программирования выпукло

  II.  Неотрицательное базисное решение системы линейных ограничений есть точка множества решений основной задачи ЛП.

A_i1X₁+A_i2X₂+…+A_ijX_j+…+A_inX_n +bi=0

J=1,2…n

I=1,2…m