Математические модели процессов сокращения крупности. Описание матричной модели. Материальный баланс процесса сокращения крупности, страница 8

Уравнение (7) может быть переписано как

Dm_i/Dt_i =- k_im_i + å b_{i- j}  k_j m_j     Если Dm_i заменить на (m_i,t+1 – m_i,t), тогда,- назначив Dt_i достаточно малым,- будем иметь

m_i,t+1 = m_i,t(1 - k_jDt_i) + Dt_iå b_{i- j}  k_j m_j,t.

Примем Dt_i = 1 сек, а I_i используем для m_i .

Итак, для верхней (первой, i =1) фракции крупности (+2360 мкм), имеем:

m_1,t+1 = m_1,t (1 – k₁×1,0) + 1,0åb_1-1 k_j m_j,t.

После первой секунды, т.к. b_1-1 = 0, имеем

m_1,1 = 2,4[1 – (9,6/60)×1,0] + 0 = 2,0160.

после второй секунды

m_1,2 = 2,0160[1 – (9,6/60)×1,0] + 0 = 1,6934

после третьей секунды

m_1,3 = 1,6934 [1 – (9,6/60)×1,0] + 0 = 1,4225 и т.д.

Для второй фракции крупности (i = 2) имеем:

m_2,t+1 = m_2,t (1 – k₂×1,0) + 1,0×b₁k₁m_1,t

после первой секунды:

m_2,1 = m_2,0 (1 – k₂×1,0) + 1,0×b₁k₁m_1,0 =

          = 3,1[1 – (6,8/60)×1,0] + 1,0×0,41× (9,6/60)×2,4 = 2,9061

после второй секунды:

m_2,2 = m_2,1 (1 – k₂×1,0) + 1,0×b₁k₁m_1,1 =

          = 2,9061[1 – (6,8/60)×1,0] + 1,0×0,41× (9,6/60)×2,0160 = 2,7090 и т.д.

Рассчитаем теперь массу пятой фракции крупности после четвёртой секунды.

m_5,4 = m_5,3 (1 – k₅ ×Dt) + åb_i-j×k_j×m_j,3

учитывая, что i = 5, j = 1,2,3,4 , баланс по пятой фракции будет:

b₄× k₁×m₁        j=1

m_5,4 = m_5,3 (1 – k₅ ×Dt) + ×Dt × b₃× k₂×m₂        j=2

b₂× k₃×m₃        j=3

                                                          b₁× k₄×m₄       j=4

после подстановки, получим:

0,081×(9,6/60)×1,4225

m_5,4 = 6,5343 [1 – (2,4/60)×1,0] + 0,114×(6,8/60)×2,5131     = 6,4951

0,200×(4,8/60)×3,6653 

0,410×(3,4/60)×4,8496

Предлагается заполнить остальные клетки таблицы самостоятельно, имея ввиду, что четырнадцатые фракции крупности (т.е. подситовые фракции) рассчитываются вычитанием суммы предшествующих 13 фракций из 100.

I.4. Модель мельницы идеального перемешивания

Работа короткой вращающейся мельницы может быть иногда аппроксимирована моделью идеального перемешивания. В этих условиях массовый баланс для мельницы будет для каждой фракции (класса) крупности:

аккумуляция = (питание + появление за счёт разрушения более крупных классов) – (разрушение + разгрузка).

Для i-го класса крупности при условии установившегося процесса это даёт:

                                 (I_i + åb_i-j×k_j×m_j×t) – (k_i×m_i×t + O_i) = 0                          (8)   где t - время пребывания материала в мельнице;

O_i – массовая доля i- ой фракции крупности выходного продукта.

Проиллюстрируем применение этого уравнения на примере.

Пример 11.

Для мельницы из предыдущего примера с гранулометрической характеристикой I_i , скоростью разрушения k_i ,мин^-1, функцией разрушения b_i-j (см. таблицу 16) при заполнении j = 45%, плотности твёрдой фазы r_s = 3,145 т/м³, пористости шаровой загрузки Р = 32% и плотности твёрдого в мельнице по объёму Т = 50%.

Решение

1.  Определяем запас материала (пульпы) в мельнице

M = p(D²/4)×L×j×P×T×r_s = (3,14/4)×3,35²×3,35×0,45×0,32×0,5×3,145 = 6,69 т.

2.  Вычислим время пребывания материала в аппарате

t = M/Q = (6,69×60)/800 = 0,5 мин.

3.  Преобразуем уравнение (8)

                             O_i = [I_i + åb_i-j(åO)_j]/ (k_i×t + 1)                                   (9)

Используя это уравнение, совершим два промежуточных преобразования:

первое

                                                     k_B,i = åb_i-j (åO)_j                                  (10)    т.е. (10) определяет материал, появившийся в крупности i за счёт разрушения частиц  крупнее  i ;

второе

                                                     (åO)_j = O_j×k_j×t                                       (11)

т.е. (11) есть промежуточное вычисление для перевода количества, разрушенного в крупности j  в более мелкую крупность i .