Моделирование случайных величин. Методы генерирования на ЭВМ случайных величин с различными законами распределения, страница 5

В математической статистике это распределение называется иногда распределением t с k степенями свободы, так как описывает случайную величину

,                                                     (10)

где Z и V – независимые случайные величины, причем Z распределена нормально с параметрами Mz = 0 и Dz = 1, а V подчиняется закону  с k степенями свободы.

Плотность вероятностей величины t имеет вид

,             (11)

где Г( ) – гамма функция.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины t равны

То обстоятельство, что случайная величина t связана функциональной зависимостью (10) с другими случайными величинами, законы распределения которых известны, дает простой способ формирования распределения (11). Для этого необходимо:

·  Получить реализацию нормально распределенной случайной величины Z с параметрами mz = 0, Dz = 1

.

·  Сформировать реализацию случайной величины V, подчиненной –распределению:

.

·  Выполнить вычисления согласно формуле (10).

Таким образом получаем

.

1.10. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА

Это распределение широко используется в дисперсионном анализе. Оно описывает случайную величину

          ,                                                             (12)

которая функционально связана с двумя случайными величинами U и V, имеющими –распределения с k1 и k2 степенями свободы соответственно.

Плотность вероятности этого закона имеет вид

         

Математическое ожидание и дисперсия для этого закона равны

Для реализации случайной величины x, подчиненной распределению Фишера, необходимо, очевидно, сформировать две случайные величины U и V, подчиненные –распределению с k1 и k2 степенями свободы, и воспользоваться формулой (12). Тогда получим

, где zi – значения нормально распределенной случайной величины с .

1.11. БЕТА–РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Плотность распределения вероятностей этого закона имеет вид

        (13)

Математическое ожидание и дисперсия этого закона равны

Для случайной величины, имеющей бета–распределение, можно записать:

где  – случайная величина, имеющая хи–квадрат распределение.

Так как

, то для реализации случайной величины x, подчиненной распределению (13), необходимо сформировать две случайные величины, имеющие –распределение с m и m+n степенями свободы, а затем получить

.

1.12. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА

Плотность вероятностей распределения Вейбулла имеет вид

 , где  – масштабный параметр; k – параметр, определяющий асимметрию и эксцесс.

Математическое ожидание и дисперсия здесь равны

Для получения этого распределения может быть непосредственно использовано соотношение

.

Нижний предел интегрирования равен 0, а не , так как область существования x ограничена .

Используя замену переменной, получаем

.

Отсюда

.

1.13. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЛЕЯ

Распределение Релея является частным случаем рассмотренного выше распределения Вейбулла. Действительно, при  и k = 2 получим

,                                                    (14)

где  s – параметр распределения Релея.

Для получения случайных чисел, распределенных по закону (14), справедливо соотношение

.


2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Дискретные распределения случайных величин применяют для описания поведения случайных событий.

Алгоритм моделирования на ЭВМ случайных событий с известным законом распределения вероятностей сводится к следующему.

Пусть заданы значения вероятностей P1, P2,…, Pn для независимых событий A1, A2,…, An, образующих полную группу. Нужно определить в каждом испытании, какое из этих событий произошло.

Разобьем отрезок [0,1] на n отрезков так, чтобы длина i–го отрезка равнялась вероятности Pi. Выберем из равномерного в интервале (0,1) распределения случайное число  и определим, на какой участок попадает это число. Попадание случайного числа  на k–й участок фиксируем как факт свершения события Ak . На ЭВМ этот процесс сводится к выбору случайного числа  и проверке условия