Моделирование случайных величин. Методы генерирования на ЭВМ случайных величин с различными законами распределения, страница 10

При  

, где  берется из табл. 3.

Если неравенство (19) не выполняется, то распределение нельзя считать соответствующим теоретическому.

3.4. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ГЕНЕРИРУЕМОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПО БЛИЗОСТИ ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ К ТЕОРЕТИЧЕСКОМУ

Такая оценка проводится с помощью критерия , сущность которого для нашего случая сводится к следующему. (Символ  – это условное обозначение распределения, а не квадрат переменной χ).

Сгенерируем n чисел. Разобьем диапазон значений полученных чисел на k не обязательно равных интервалов так, чтобы в каждом из них содержалось не менее 5 чисел. (Оптимальное значение k определяется из выражения .) Для каждого интервала определим количество реально попавших в него чисел n_i и количество чисел, могущих в него попасть теоретически np_i, где p_i - теоретическая вероятность попадания числа в i–й интервал.

Вычислим величину

                              ,                                       (20)

представляющую собой взвешенную сумму квадратов отклонений реальных и теоретических значений вероятностей попадания числа в i–й интервал.

Случайная величина  обладает тем свойством, что ее распределение не зависит от распределения исследуемых чисел, а только от количества интервалов k, а точнее, от параметра  – числа степеней свободы, определяемого здесь как , где s – число используемых ограничений, например таких

где  – среднее значение случайной величины на i–ом интервале,

.

В нашем случае  и  известны (мы генерируем случайные величины с заданными значениями m_ξ и D_ξ), поэтому число степеней свободы .

Для распределения  имеются таблицы (см. табл. 4), по которым, зная конкретное значение  и , можно найти вероятность q того, что величина, распределенная по закону , превзойдет это значение.

Проверку гипотезы о совпадении полученного распределения с теоретическим производят следующим образом.

Задавшись вероятностью q (0.01, 0.05, 0.1), по  находят в таблице –распределения значение . Если определенное по формуле (20) значение  не превосходит , то гипотеза о совпадении полученного и теоретического распределения принимается. Если , то эта гипотеза отвергается.

Следует отметить, что проверка гипотезы по критерию  сама по себе не дает доказательства, правильна или ложна эта гипотеза. Она лишь указывает степень согласия гипотезы с результатами эксперимента.

Критерий проверки (вероятность q) выбирают таким, чтобы вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна, была малой. Поэтому q выбирают обычно равной одному из значений 0.01, 0.05, 0.1.

Замечание: Критерием можно пользоваться и без таблиц, если применить формулу Романовского

Если , то согласие между эмпирическим и теоретическим распределениями можно считать удовлетворительным.

4. ЗАДАНИЕ для самостоятельной РАБОТЫ

1.  Составить программу генерирования случайных чисел с равномерным распределением на интервале (0, 1), обеспечив возможность варьирования параметров , a, b, M.

Программа должна содержать подпрограммы определения математического ожидания, дисперсии, величины  и нормированной автокорреляционной функции.

Проанализировать полученные значения автокорреляционной функции, определить n_нач. и скорректировать подпрограммы так, чтобы исключить n_нач .

Произвести проверку гипотезы о равномерности распределения.

Пример окна программы п. 1, составленной в DELPHI, показан на рис.2.

Рис. 2

2.  Составить программу генерирования бесповторных случайных чисел для  n = 16, обеспечив возможность варьирования  начального значения X₀ .