Конспект лекционных и практических занятий по дисциплине "Сопротивление материалов", страница 11

Неизвестные начальные параметры  определяются из граничных условий, составленных для левого и правого концов стержня. В случае наличия у стержня промежуточных опор для определения действующих на них реактивных усилий составляются дополнительные условия отсутствия прогибов на них, а неизвестная реакция на опоре учитывается в качестве слагаемого соответствующего силе. При построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в местах действия соответствующих сосредоточенных усилий происходят скачки. Кроме того, следует проверять выполнение дифференциальных соотношений между внутренними усилиями. Вследствие степенной зависимости от осевой координаты эпюры прогибов и углов поворота являются гладкими функциями, не имеющими скачков и изломов. В точках, где сила равна нулю, момент имеет экстремум, а в точках, где момент равен нулю, кривизна изогнутой оси равна нулю, т.е. имеется точка перегиба.

5.8 Пример раскрытия статической неопределимости балки с помощью уравнения изогнутой оси

Для балки (см.рис.5.11) при .

1)  записать уравнение изогнутой оси

2)  определить неизвестные начальные параметры из граничных условий

3)  получить выражения и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

4)  построить изогнутую ось балки

Решение.

Совмещаем начало координат с левым концом балки

1. Уравнение изогнутой оси балки

.

Cоставляем граничные условия

при :

при :

при :

Положив в универсальном уравнении  выражения для силы и момента, получим дифференцированием

.

Решая систему уравнений

получим .

Подставив найденные значения начальных параметров в их выражения, определим их значения в характерных точках:

Определяем абсциссу на втором участке балки, где поперечная сила равна нулю , при этом  имеет максимум.

По полученным значениям строим эпюры

5.9 Косой изгиб

В случае, если плоскость действия нагрузок не совпадает с главной осью сечения изгиб будет косым (рис.5.12а). При этом в поперечных сечениях стержня будут присутствовать два изгибающих момента, т.е. косой изгиб можно представить в виде сочетания двух изгибов в главных плоскостях. У круглого и квадратного сечения все оси, проведенные через центр тяжести, являются главными и поэтому такие балки испытывают только плоский изгиб.

Следовательно, в выражении для нормальных напряжений остаются два слагаемых: . Нейтральная линия при этом проходит через центр тяжести сечения, но не перпендикулярна плоскости действия нагрузок: , где  - угол наклона плоскости действия сил к главной оси. Перемещения при косом изгибе находятся в плоскости, составляющей угол  с главной осью.

Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии: .

Условием прочности при косом изгибе является .

Пример. Подобрать поперечное сечение для балки, подвергающейся косому изгибу, при  (рис. 5.12б).

Решение:

Наибольшие значения моментов равны .

Рассмотрим несколько видов сечений:

а) прямоугольник с отношением высоты к ширине . Тогда .

Площадь такого сечения равна .

б) круг с отношением внутреннего диаметра к наружному .

Поскольку балки с таким сечением не испытывают косого изгиба то в расчет должен приниматься суммарный момент:

Тогда .

Площадь такого сечения равна .

в) двутавр

Принимаем двутавр №33, у которого .

Тогда .

5.10 Внецентренное растяжение (сжатие)

Если линия действия осевой силы параллельна геометрической оси стержня, но не совпадает с ней, то такой случай нагружения стержня называется внецентренным растяжением (сжатием).

Пусть координаты точки приложения силы  (рис. 5.13а), тогда возникающие при этом внутренние усилия равны . Таким образом, данный вид нагружения является сочетанием осевого растяжения ( или сжатия) и косого изгиба (или изгибов в двух главных плоскостях). Выражение для нормальных напряжений имеет наиболее общий вид:

 или в данном случае , где  - радиусы инерции площади поперечного сечения. Приравняв выражение для нормальных напряжений нулю, получим уравнение нейтральной линии: .

Пример. Консоль прямоугольного поперечного сечения  растягивается силой , приложенной с эксцентриситетом  относительно оси  и изгибается силой  (рис. 5.13б). Определить нормальные напряжения в точках  в заделке.

Решение.

Определяем внутренние усилия: .

Воспользуемся формулой для вычисления нормальных напряжений:

точка ,

точка ,

точка ,

точка .

6. Кручение стержней некруглого сечения

6.1 Свободное кручение стержня прямоугольного сечения.

В общем случае при кручении произвольного стержня поперечные сечения плоские до деформации искривляются по некоторой поверхности , которая называется функцией депланации сечения, а само явление – депланацией. (рис. 6.1). Значения функции депланации определяют перемещения точек сечения в направлении оси стержня Z.  Угол сдвига  образуется как за счет наклона образующих, так и из-за наклона сторон, лежащих в поперечных сечениях. Если депланации всех поперечных сечений одинаковы по длине стержня, то кручение называется свободным. При этом каждое продольное волокно перемещается в продольном направлении как жесткое целое и нормальное напряжение в поперечных сечениях будет отсутствовать . Если депланации переменны по длине стержня, то такое кручения называется стесненным, а в поперечных сечениях наряду с касательными присутствуют и нормальные напряжения.

Максимальные касательные напряжения при кручении стержня прямоугольного сечения (рис 62 возникают в средних точках длинных сторон контура, которые равны , , где коэффициент  зависит от соотношения высоты и ширины прямоугольника. В серединах коротких сторон возникают меньшие напряжения, которые равны .

Для угловых точек касательные напряжения равны нулю, что следует из закона парности касательных напряжений (боковая поверхность свободна от напряжений). Угол закручивания связан с крутящим моментом соотношением , где , .

6.2 Свободное кручение тонкостенных стержней открытого профиля.