Функции с интегрируемым квадратом

Глава VIII

Функции с интегрируемым квадратом

Среди различных линейных нормированных пространств, встречающихся в функциональном анализе, одним из важнейших является гильбертово пространство, названное так по имени немецкого математика Д.Гильберта, который ввел это пространство в связи со своими исследованиями по теории интегральных уравнений. Оно является естественным бесконечномерным аналогом n-мерного евклидова пространства. С одной из возможных реализаций гильбертова пространства мы уже познакомились в гл. III, ч. I – это пространство  элементами которого являются числовые последовательности,

удовлетворяющие условию

Понятие интеграла Лебега позволяет ввести другую, в некоторых случаях более удобную, реализацию того же самого пространства – пространство функций с интегрируемым квадратом. В этой главе мы рассмотрим определение и основные свойства пространства функций с интегрируемым квадратом и установим его изометричность (при соответствующих предположениях относительно той меры, по которой производится интегрирование) с пространством .

В следующей главе будет дано аксиоматическое определение гильбертова пространства.

§ 50. Пространство

Ниже мы рассматриваем функции f(x) определенные на некотором множестве R, с заданной на нем мерой удовлетворяющей условию  Функции f(x) предполагаются измеримыми и определенными почти всюду на R. Функции, эквивалентные на R, мы не будем различать. Вместо  будем для краткости писать просто

Определение 1. Говорят, что f(x) есть функция с интегрируемым (или суммируемым) квадратом на R, если интеграл

существует (конечен). Совокупность всех функций с интегрируемым квадратом на R обозначим L₂.

Установим основные свойства таких функций.

Теорема 1. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть интегрируемая функция.

Доказательство непосредственно вытекает из неравенства

и свойств интеграла Лебега.

Следствие 1. Всякая функция f(x) с интегрируемым квадратом интегрируема.

Действительно, достаточно в теореме 1 положить

Теорема 2.    Сумма двух функций из L₂ также принадлежит L₂.

Доказательство. Действительно,

и, в силу теоремы 1, каждая из трех функций, стоящих справа, суммируема.

Теорема 3. Если  и а – произвольное число, то  

Доказательство. Если  то

Теоремы 2 и 3 показывают, что линейные комбинации функций из L₂ снова принадлежат L₂; при этом очевидно, что сложение функций из L₂ и умножение их на числа удовлетворяют всем условиям 1-8, перечисленным в определении линейного пространства (гл. III §24), иначе говоря, класс L₂функций с суммируемым квадратом представляет собой линейное пространство.

Определим теперь для функций из L₂скалярное произведение, положив

                                                         (1)

Как известно, скалярным произведением называется любая числовая функция пары векторов линейного пространства, удовлетворяющая следующим условиям:

1)

2)

3)

4)

Из основных свойств интеграла сразу следует, что условиям 1-3 выражение (1) действительно удовлетворяет. Поскольку же мы условились не различать эквивалентные между собой функции (и, в частности, за нулевой элемент считать совокупность всех функций на R, эквивалентных ), то условие 4) будет также выполнено (см. следствие из теоремы 9 § 43). Мы приходим, таким образом, к следующему определению.

Определение 2. Пространством L₂ называется евклидово пространство[1], элементами которого являются классы эквивалентных между собой функций с интегрируемым квадратом, сложение элементов и умножение их на числа определяются как обычное сложение и умножение функций, а скалярное произведение определяется формулой

                                                       (1)

В L₂, как и во всяком евклидовом пространстве, выполнено неравенство Коши-Буняковского, которое в данном случае имеет вид:

                                        (2)

и неравенство треугольника, имеющее вид:

                                (3)

В частности, при  неравенство Коши-Буняковского дает следующее полезное неравенство:

                                             (4)

Введем в L₂норму, положив

                                    (5)

Упражнение.           Исходя из свойств 1-4 скалярного произведения, доказать, что норма, определенная равенством (5), удовлетворяет условиям 1–3 определения нормы (§21).

Весьма важную роль во многих вопросах анализа играет следующая

Теорема 4. Пространство L₂ полно.

Доказательство.  а) Пусть {f_n(x)} – фундаментальная последовательность в L₂, т. е.

Тогда можно выбрать подпоследовательность индексов {n_k} так, что

Отсюда, согласно неравенству (4), вытекает, что

Из этого неравенства и теоремы 2 § 44 (следствие) вытекает, что ряд

сходится почти всюду на R. Тогда и ряд