Линейные операторные уравнения

Глава IV

Линейные операторные уравнения

§ 30. Спектр оператора. Резольвента

На протяжении всей этой главы мы будем рассматривать ограниченные линейные операторы, отображающие некоторое (вообще говоря комплексное) банахово пространство Е в себя. Оператор, сопряженный оператору указанного типа; будет, очевидно, отображать сопряженное пространство  в себя.

При изучении линейных операторов в конечномерном пространстве важную роль играют понятия собственного вектора и собственного значения. В случае n-мерного пространства понятие собственного значения оператора можно ввести следующими, эквивалентными между собой, способами:

1) Число  называется собственным значением оператора А, если существует такой ненулевой вектор х (собственный вектор), что

2) Число  называется собственным значением оператора А, если оно является корнем характеристического уравнения

Первое из этих определений переносится без всяких изменений на случай бесконечномерного пространства, т. е. его можно рассматривать как определение собственных значений оператора в бесконечномерном пространстве.

Второе из сформулированных определений непосредственно на бесконечномерный случай не переносится, так как в бесконечномерном пространстве понятие определителя не имеет смысла. Однако это второе определение можно видоизменить следующим образом. Обращение в нуль определителя матрицы  равносильно необратимости этой матрицы, т. е. можно сказать, что собственные значения  суть те числа, для которых оператор  необратим. Исходя из этого, введем следующее определение:

Совокупность тех значений  для которых оператор  необратим, называется спектром оператора А. Значения А, при которых оператор  обратим, называются регулярными, таким образом, спектр состоит из всех нерегулярных точек. При этом сам оператор  называется резольвентой оператора А. В n-мерном пространстве понятия собственного значения и нерегулярной точки совпадают. В общем случае, как показывает приводимый ниже пример, это не так. Спектр обязательно содержит все собственные значения, но может содержать, кроме них, и другие числа. Совокупность собственных значений называется точечным спектром оператора А. Остальная часть спектра носит название непрерывного спектра.

Если точка  регулярна, т. е. оператор  обратим, то при достаточно малом  оператор  также обратим (теорема 7 § 29), т. е. точка  также регулярна. Таким образом, регулярные точки образуют открытое множество. Следовательно, спектр — его дополнение — замкнутое множество.

Теорема 1. Оператор  обратим при любом  таком, что

Доказательство. Так как, очевидно,

то

При  этот ряд сходится (см. теорему 8 §29), т.е. оператор  обратим. Иначе говоря, спектр оператора А помещается в круге радиуса  с центром в нуле.

Пример. В пространстве С рассмотрим оператор А, определяемый формулой

где  — фиксированная непрерывная функция. Имеем

откуда

Спектр рассматриваемого оператора А состоит из всех  для которых  обращается в нуль, при некотором t, заключенном между 0 и 1, т.е. спектр есть совокупность всех значений функции  Например, если  то спектр представляет собой отрезок  причем собственные значения отсутствуют, т. е. оператор умножения на t представляет собой пример оператора с чисто непрерывным спектром.

(1) Всякий линейный оператор, определенный в банаховом пространстве, имеющем хотя бы один отличный от нуля элемент, имеет не пустой спектр. Существуют операторы, у которых спектр состоит из единственной точки (например, оператор умножения на число).

(2) Теорема 1 может быть уточнена следующим образом. Пусть

тогда спектр оператора А целиком лежит внутри круга радиуса r с центром в нуле.

(3) Резольвентные операторы  и  отвечающие точкам  и  перестановочны между собой и удовлетворяют соотношению

которое легко проверить, умножив обе части этого равенства на

Отсюда вытекает, что производная от  по  т. е.

существует и равна

§31. Вполне непрерывные операторы

Определение. Оператор А, отображающий банахово пространство Е в себя, называется вполне непрерывным, если он переводит любое ограниченное множество в компактное.

В конечномерном пространстве всякий ограниченный линейный оператор вполне непрерывен, так как он переводит любое ограниченное множество снова в ограниченное, а в конечномерном пространстве всякое ограниченное множество компактно.

В случае бесконечномерного пространства всегда существуют операторы, ограниченные (т. е. непрерывные), но не вполне непрерывные; таким, например, будет единичный оператор в бесконечномерном пространстве.

В пространстве  обширный класс вполне непрерывных операторов

может быть записан в виде

                                                      (1)

Теорема 1. Формула (1) определяет вполне непрерывный оператор в пространстве  если функция K(s, t) ограничена на квадрате  все точки разрыва функции K(s, t) лежат на конечном числе кривых

где  — непрерывные функции[1].

Доказательство. Заметим, что при условиях теоремы интеграл (1) существует для любого s из отрезка  Пусть  на квадрате  Обозначим через G множество точек (s, t), для которых при каких-либо k = 1, 2, ..., n выполняется неравенство:

и через F — дополнение к G до полного квадрата  Так как F замкнуто, и K(s, t) непрерывно на F, то существует такое  что для точек (s', t), (s", t) из F с  будет выполнено неравенство

Пусть теперь s' и s" таковы, что  Тогда

может быть подсчитан при помощи интегрирования по сумме интервалов