Другие предметы \ Функциональный анализ

Функции с интегрируемым квадратом, страница 3

Нетрудно убедиться на примерах, что из сходимости в среднем некоторой последовательности не вытекает, что сама эта последовательность сходится почти всюду. Действительно, последовательность функций построенная на стр. 233, сходится, очевидно, в среднем к функции но при этом, как показано там же, не сходится почти всюду. Покажем теперь, что из сходимости почти всюду (и даже всюду) не вытекает сходимость в среднем. Пусть

Ясно, что последовательность {f_n(x)} сходится к 0 всюду на [0,1], но в то же время

Из неравенства Чебышева (§43, теорема 9) следует, что если последовательность сходится в среднем, то она сходится и по мере. Поэтому теорема 3, которую мы здесь доказали независимо, вытекает из теоремы 4 §41. Соотношения между различными типами сходимости функций показаны на схеме, где пунктирная стрелка означает возможность выбора из последовательности, сходящейся по мере, подпоследовательности, сходящейся почти всюду.

§ 52. Пространства l₂ со счетным базисом

Пространство L₂функций с интегрируемым квадратом зависит, вообще говоря, от выбора пространства R и меры Полное его обозначение должно было бы быть Только в исключительных случаях пространство конечномерно. Наибольшее значение в анализе имеют те пространства, которые в некотором, выясняемом далее, смысле счетномерны.

Для того чтобы охарактеризовать эти пространства, нам понадобится еще одно понятие, относящееся к теории меры.

В совокупности M измеримых подмножеств пространства R (меру которого мы предположили конечной) можно ввести расстояние, положив

Если мы будем отождествлять такие множества А и В, для которых (т. е., иначе говоря, будем рассматривать не отдельные множества, а классы множеств, совпадающих с точностью до множества меры 0), то множество M с расстоянием будет удовлетворять всем аксиомам метрического пространства.

Определение 1. Мера называется имеющей счетный базис, если в метрическом пространстве M существует счетное всюду плотное множество.

Иначе говоря, мера имеет счетный базис, если существует такая счетная система

измеримых подмножеств пространства R (счетный базис меры ), что для любого измеримого и любого найдется такое что

В частности, мера имеет, очевидно, счетный базис, если ее можно представить как продолжение меры, определенной на счетной системе множеств В самом деле, в этом случае кольцо (оно, очевидно, счетно) и представляет собой, в силу теоремы 3 § 38, искомый базис.

В частности, мера Лебега на отрезке числовой прямой порождается системой интервалов с рациональными концами в качестве элементарных множеств. Так как множество таких интервалов счетно, то мера Лебега обладает счетным базисом.

Произведение двух мер со счетными базисами также обладает счетным базисом, так как конечные суммы попарных произведений элементов базиса меры на элементы базиса меры образуют, как легко проверить, базис меры Поэтому мера Лебега на плоскости (а также и в n-мерном пространстве) имеет счетный базис.