Функции с интегрируемым квадратом, страница 6

Содержание настоящего параграфа представляет собой, в известном смысле, обобщение разложения (1) на случай бесконечномерного пространства L₂.

Пусть

                                                         (2)

– ортогональная нормированная система и

Поставим следующую задачу: при заданном п подобрать коэффициенты  так, чтобы расстояние, в смысле метрики пространства L₂, между f и суммой

                                                         (3)

было возможно меньше. Положим  Так как система (2) ортогональна и нормирована, то:

          (4)

Ясно, что минимум этого выражения достигается тогда, когда последнее слагаемое равно нулю, т. е. при

                                             (5)

В этом случае

                                              (6)

Определение. Числа

называются коэффициентами Фурье функции  по ортогональной системе (2), а ряд

(он может и не быть сходящимся) называется рядом Фурье функции f по системе (2).

Мы показали, что из всех сумм вида (3) при данном п наименее уклоняется от f (в смысле метрики L₂) частичная сумма ряда Фурье этой функции. Геометрически этот результат можно пояснить следующим образом.

Функция

ортогональна всем линейным комбинациям вида

т. е. ортогональна подпространству, порожденному функциями  в том и только том случае, если выполняется условие (5). (Проверьте это!) Таким образом, полученный нами результат представляет собой обобщение известной теоремы элементарной геометрии: длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую или на плоскость, меньше, чем длина любой наклонной, проведенной из той же точки.

Так как всегда  то из равенства (4) следует, что

Здесь п произвольно, а правая часть не зависит от п; следовательно, ряд  сходится, и

Это неравенство называется неравенством Бесселя.

Введем следующее важное понятие.

Определение. Ортогональная нормированная система (2) называется замкнутой, если для любой функции  справедливо равенство

                                                             (8)

называемое равенством Парсеваля.

Из (6) видно, что замкнутость системы (2) равносильна тому, что частичные суммы ряда Фурье каждой функции  сходятся к f в смысле метрики L₂ (т. е. в среднем).

Понятие замкнутости ортогональной нормированной системы тесно связано с введенным в § 53 понятием полноты системы функций.

Теорема 1. В пространстве L₂ всякая полная ортогональная нормированная система является замкнутой, и обратно.

Доказательство. Пусть  замкнута; тогда, какова бы ни была функция  последовательность частичных сумм ее ряда Фурье сходится к ней в среднем. Это означает, что линейные комбинации элементов системы  всюду плотны в L₂, т. е.  полна. Обратно, пусть  полна, т. е. любую функцию  можно сколь угодно точно аппроксимировать, в смысле метрики L₂, линейной комбинацией

элементов системы  тогда частичная сумма

ряда Фурье для f дает, вообще говоря, еще более точную аппроксимацию функции f и, следовательно, ряд

сходится к f в среднем, и равенство Парсеваля имеет место.

В § 53 мы доказали существование полных ортогональных нормированных систем в L₂. Поскольку для ортогональных нормированных систем функций из L₂ понятия замкнутости и полноты совпадают, существование замкнутых ортогональных систем в L₂не нуждается в новом доказательстве, а приведенные в § 53 примеры полных ортогональных нормированных систем являются в то же время примерами замкнутых систем.

Из неравенства Бесселя (7) следует, что для того, чтобы числа  представляли собой коэффициенты Фурье некоторой функции  по какой-либо ортогональной нормированной системе, необходимо, чтобы ряд

сходился. Оказывается, что это условие не только необходимо, но и достаточно. Именно, справедлива следующая

Теорема 2 (Рисе-Фишер). Пусть  – произвольная ортогональная нормированная система в L₂, и пусть числа

таковы, что ряд

сходится. Тогда существует такая функция  что

и