Построение многоугольников и многогранников, страница 9

1.  x + y + z > 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 (видимая грань p₁p₂p₃), список граней: p₀p p₂, p₀p₂p₃, p₀p₁p₃, qp₁p₂, qp₂p₃, qp₃p₁.

2.  x + y + z ≤ 1, x < 0, y ≥ 0, z ≥ 0 (видимая грань p₀p₂p₃), список граней: p₀p₁p₃, p₀p₂p₃, p₁p₂p₃, p₀p₂q, p₀p₃q, p₂p₃q.

3.  x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y < 0, z ≥ 0 (видимая грань p₀p₁p₃), список граней: p₀p₁p₂, p₀p₂p₃, p₁p₂p₃, p₀p₁q, p₀p₃q, p₁p₃q.

4.  x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z < 0 (видимая грань p₀p₁p₂), список граней: p₀p₁p₃, p₀p₂p₃, p₁p₂p₃, p₀p₁q, p₀p₂q, p₁p₂q.

5.  x + y + z > 1, x ≤ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 (видимые грани p₀p₂p₃ и p₁p₂p₃), список граней: p₀p₁p₂, p₀p₁p₃, p₁p₂q, p₀p₂q, p₀p₃q, p₁p₃q.

6.  x + y + z > 1, x ≥ 0, y < 0, z ≥ 0 (видимые грани p₀p₁p₃ и p₁p₂p₃), список граней: p₀p₁p₂, p₀p₂p₃, p₀p₁q, p₁p₂q, p₂p₃q, p₀p₃q.

7.  x + y + z > 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≤ 0 (видимые грани p₀p₁p₂ и p₁p₂p₃), список граней: p₀p₁p₃, p₀p₂p₃, p₀p₁q, p₁p₃q, p₀p₂q, p₂p₃q.

8.  x + y + z < 1, x ≤ 0, y ≤ 0, z > 0 (видимые грани p₀p₁p₃ и p₀p₂p₃), список граней: p₀p₁p₂, p₁p₂p₃, p₀p₁q, p₁p₃q, p₀p₂q, p₂p₃q.

9.  x + y + z < 1, x ≤ 0, y > 0, z ≤ 0 (видимые грани p₀p₁p₂ и p₀p₂p₃), список граней: p₀p₁q, p₁p₂q, p₂p₃q, p₀p₃q.

10.  x + y + z < 1, x > 0, y ≤ 0, z ≤ 0 (видимые грани p₀p₁p₂ и p₀p₁p₃), список граней: p₀p₂p₃, p₁p₂p₃, p₀p₂q, p₀p₃q, p₁p₂q, p₁p₃q.

11.  x + y + z > 1, x < 0, y < 0, z ≥ 0 (все грани, кроме p₀p₁p₂, видимые), список граней: p₀p₁p₂, p₀p₁q, p₀p₂q, p₁p₂q.

12.  x + y + z > 1, x < 0, y ≥ 0, z < 0 (все грани, кроме p₀p₁p₃, видимые), список граней: p₀p₁p₃, p₀p₁q, p₀p₃q, p₁p₃q.

13.  x + y + z > 1, x ≥ 0, y < 0, z < 0 (все грани, кроме p₀p₂p₃, видимые), список граней: p₀p₂p₃, p₀p₂q, p₀p₃q, p₂p₃q.

14.  x < 0, y < 0, z < 0 (все грани, кроме p₁p₂p₃, видимые), список граней: p₁p₂p₃, p₁p₂q, p₁p₃q, p₂p₃q.

15.  x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 (точка q принадлежит тетраэдру), список граней: p₀p₁p₂, p₀p₁p₃, p₀p₂p₃, p₁p₂p₃.

Изображение выпуклого тела. Пусть задано выпуклое тело с помощью координат вершин и списка многоугольников, которые служат гранями этого выпуклого тела. Рассмотрим систему координат (X, Y, Z), выражающихся с помощью параллельной проекции через мировые координаты (x, y, z). В этой системе координат плоскость OXY будет совпадать с плоскостью экрана, а ось OZ будет перпендикулярна плоскости экрана (переход от координат (X, Y) к экранным производится с помощью масштабирования.)

Система координат (X, Y, Z) называется проекционной. В этой системе координат вершины выпуклого тела (x_i, y_i, z_i) будут иметь некоторые координаты (X_i, Y_i, Z_i).

Для каждой грани запишем уравнение плоскости в проекционной системе координат, содержащей эту грань a_kX + b_kY + c_kZ + d_k = 0, где k – номер грани, 1 ≤ k ≤ K. Предположим, что вектор нормали N = (a_k, b_k, c_k) направлен наружу выпуклого тела. Тогда если Z-компонента вектора N, равная c_k, не больше нуля, то данная грань невидима. Если же c_k > 0, то грань видима. Таким образом, получаем схему алгоритма вывода ребер видимых граней выпуклого тела.