Операции анализа над случайными функциями, страница 9

3.13.  Дифференцирование сложной функции в случае винеровского процесса

Рассмотрим СП 

                                  (25)

где  X(t), Y(t)- cлучайные функции и W(t) – винеровский процесс интенсивности . Пусть далее - случайная  функция , φ(.,.)- действительная скалярная функция, непрерывная вместе со своими первыми и вторыми производными по всем компонентам вектора Z и первой производной по t. Тогда стохастический дифференциал  Ито   для случайной функции  U(t) будет иметь вид [4]:

         (26)

Формула (26) называется формулой Ито, от обычного дифференциала сложной функции она отличается последним слагаемым в фигурных скобках.

В формуле приняты обозначения: φ(Z,t.)=, - матрица- столбец, элементами которой служат производные функции φ(Z,t) по компонентам вектора Z, а  - матрица вторых производных  по компонентам вектора Z.

Пример 15. Пусть: . Вычислить дифференциал Ито случайной функции.

Решение.  Согласно формуле    (26)

,                                                (27)

так как в этом случае  X(t)=0, Y(t)=1,  Z(t)=W(t) и .

Пример 16. Проинтегрируем полученную  формулу (27) по отрезку [0,Т], помня, что W(0)=0 (иначе говоря от дифференциальной формы записи полученного результата (27) перейдем к интегральной): , откуда

                                               (28).

Видим, что интеграл Ито от стандартного винеровского процесса по этому же процессу  нельзя вычислять по обычной формуле интегрирования степенной функции.

Стохастический - интеграл  при любом  отличается от интеграла Ито на величину Т ( и не только для частного случая  такого интеграла (28), но и для интегралов общего вида ):

                                       (29)

В частности,      -  для интеграла Стратоновича,  - для интеграла .

Видим, что значения стохастических θ –интегралов существенно отличаются друг от друга при различных значениях θ, особенно, если Т достаточно велико.

Пример 17.  Пусть . Вычислить дифференциал Ито.

Решение.   .

3.14. Стохастические дифференциальные уравнения (П тип)

Введенное понятие стохастического интеграла Ито позволяет рассмотреть класс дифференциальных уравнений со случайной правой частью.

Пусть  - матричная функция размерности ,  - -мерный стандартный винеровский процесс и - вектор начальных условий.

Определение 15. СФ X(t) является решением стохастического дифференциального уравнения

                                                    (30)

на отрезке  с начальным условием , если для каждого  ее можно представить в виде

,                                       (31)

где в формуле (31) первый интеграл  в правой части понимается в с.к. смысле, а второй – является интегралом Ито (см. также формулы 23 и 24).

От дифференциальных уравнений п. 3.5.1 уравнения (30) отличаются наличием в них дифференциала Ито. Решение уравнения (30) подобно решению уравнения   (8) из п. 3.5.1.

В главе VП  мы будем говорить о стохастических дифференциальных уравнениях этого типа, а сейчас рассмотрим примеры.

Пример 18.  Показать, что СФ  удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению .

Решение. Рассмотрим   в виде , где . Используем результаты примера 16:  Кроме того, . Следовательно,   действительно является решением уравнения.

Пример 19. Пусть X(t) удовлетворяет линейному дифференциальному стохастическому уравнению   с непрерывными коэффициентами A, G. Показать, что процесс 

              (32)

является решением этого дифференциального уравнения, если матричная функция F(t) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений

                                                     (33)

Решение. Вычислим дифференциалы слагаемых в правой части равенства (32) , используя правило с.к. дифференцирования и формулу Ито:

  .

В последнем равенстве учтено, что для  по определению справедливо , а по правилу Ито в силу линейности преобразования  имеет место  Окончательно получаем =

=