Операции анализа над случайными функциями, страница 5

Определение 8. Последовательность случайных функций , , называется слабо с.к. сходящейся (с.с.к. сходящейся) к случайной функции X(t) (по отношению к ), если

Случайная функция X(t) называется в этом случае слабым средним квадратическим пределом (с.с.к. пределом) последовательности .

Класс функций  обычно в определении не указывается, так как он естественно определяется условиями задачи. Обычно это класс непрерывных функций, или непрерывных со своими производными до определенного порядка, или бесконечно дифференцируемых функций.

Пример 11. Пусть ,, таковы, что , 

;    при , если ,    при , если .   Далее,

   при . Поэтому естественно считать с.к. пределом  белый шум единичной интенсивности. Но, как показывают первые два равенства, последовательность не имеет с.к. предела в точках , следовательно, вообще не имеет с.к. предела.

Рассмотрим ,  где  - любая непрерывная финитная функция .

Приведенный пример показывает, что в общем случае с.с.к. предел последовательности случайных функций может не быть случайной функцией в обычном смысле. Это вызывает необходимость расширить понятие случайной функции.

Определение 9. Слабый средний квадратический предел последовательности случайных функций называется обобщенной  случайной функцией.

Белый шум  относится к классу случайных обобщенных функций.

Очевидно, что из с.к. сходимости с.с.к. сходимость следует: любая с.к. сходящаяся последовательность случайных функций с.с.к. сходится к той же предельной функции. Следовательно, класс обобщенных случайных функций содержит и некоторые обычные случайные  функции.

3.6.1.  Интегралы, содержащие белый шум

Определение 10. Пусть V(t)- с.с.к. предел  последовательности  с.к. интегрируемых функций .  Интегралом от белого шума  называется с.к. предел интегралов от  случайных функций

                              (12)

        (13)

где ν(τ) – интенсивность белого шума,  

3.7. Эргодические случайные процессы

При решении практических задач большое значение имеет вопрос: можно ли по одной реализации СП делать выводы о свойствах СП. Оказывается, что в некоторых случаях это возможно. Для стационарных СП,  кроме средних статистических характеристик, вводятся еще характеристики, средние по времени. Пусть ая  реализация СП X(t), .

Рассмотрим  . Здесь символом  обозначено усреднение по времени.  Аналогично можно ввести временную функцию корреляции

.

Следует отметить, что не для всех  процессов временные средние  и  имеют конечные значения. Это во-первых. Если они и имеют конечные значения , то они могут  меняться от реализации к реализации. Это во- вторых. Процессы, для которых временные средние конечны и одинаковы для всех реализаций, и, кроме того, совпадают  с соответствующими статистическими  средними, носят название эргодических процессов.

В эргодических процессах статистические средние с вероятностью , сколь угодно близкой к 1, равны временному среднему, полученному усреднением одной единственной реализации за достаточно большой промежуток времени. По одной реализации СП можно сделать выводы о свойствах СП.

Определение 10 .  Скалярный СП X(t), , с.к. интегрируемый на Т с весом , имеющий постоянное математическое ожидание , называется эргодическим по отношению к МО , если существует    или, что то же самое,  cуществует .

Теорема 7.  Пусть X(t), , - скалярный СП с конечным моментом второго порядка, интегрируемый на множестве T с весом , где  - некоторая неслучайная функция, интегрируемая на T.   Предел в среднем квадратическом смысле         

существует тогда и только тогда, когда существует предел

.

Доказательство.  По условию существует случайная величина 

, с   , .  

С другой стороны,   

.  Предел левой части при  равен нулю тогда и только тогда, когда  равен нулю предел правой части при .

Следствие 1. Если  в роли φ(t) в теореме взять  , , то

 тогда и только тогда, когда  .