Операции анализа над случайными функциями, страница 2

Если X(t) дифференцируема в каждой точке , то семейство случайных величин  называется с.к. производной процесса X(t) на Т.

 Теорема 3. Случайная функция  X(t) с.к. дифференцируема в области Т тогда и только тогда, когда существует конечная производная  во всех точках .

Доказательство. По стохастическому критерию Коши с.к. предел  при  существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел момента

Но если этот предел существует, то он равен второй смешанной производной  в точке . Тогда по свойствам ковариационной функции, если эта производная существует на точках диагонали квадрата Т Т, то она существует    и всюду в квадрате Т Т.

В условиях теоремы 3   во всех точках  существуют производные ,  и справедливы формулы

,       .            (1)

Действительно,

. 

В вычислениях воспользовались замечанием в конце п.3.1

Из второй формулировки стохастического критерия Коши следует утверждение:

Теорема 4. Cлучайная функция  X(t) с.к. дифференцируема в области Т тогда и только тогда, когда    существуют    

1) конечная производная функции  во всех точках  и  

2) конечная вторая смешанная производная ее ковариационной функции  во всех точках .

Справедливы формулы:

                              (2)

Обычным образом определение с.к. производной обобщается на случай с.к. производной СФ X(t) более чем первого порядка.

Из теоремы о с.к. сходимости для конечномерных векторных СФ следует, что векторная СФ X(t) с.к. дифференцируема на Т тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих двух равноценных условий:

1)  существует конечная производная   во всех точках;

2)  математическое ожидание  дифференцируемо на Т и существует конечная  производная  во всех точках .При этом всюду на  существуют производные ,  ,  , ,  ,  и справедливы формулы (1), (2).

Замечание. Если X(t), , стационарный процесс, то .

Если существует процесс , то для него

, ,  и  .

Пример 4. Пусть центрированная СФ X(t) имеет ковариационную функцию  Вычислить  дисперсию ее с.к. производной.

Решение. Поскольку  то остается проверить на дифференцируемость ковариационную функцию  - она бесконечно дифференцируема.  Тогда

Отметим, что операция с.к. дифференцирования является линейной операцией. Пусть  с.к. дифференцируемые случайные функции. Тогда

=. Иными словами, с.к. производная линейной комбинации с.к. дифференцируемых функций является  линейной комбинацией их с.к. производных, что и означает линейность операции с.к. дифференцирования.

Этот результат можно обобщить в следующем направлении: если неслучайная функция  дифференцируема на Т, а СФ X(t) – с.к. дифференцируема на Т, то СФ  имеет с.к. производную

Однако не следует думать, что все СФ с.к. дифференцируемы.

Пример  5.  Рассмотрим винеровский процесс W(t), , , и решим вопрос об его с.к. дифференцируемости.   Пусть .

При  величина  не имеет конечного предела. Это означает, что  винеровский процесс не является с.к. дифференцируемым ни при каком :  

Сделаем еще одно важное замечание. Дифференцируемость случайных функций весьма легко проверяется, сравнительно  легко вычисляются вероятностные  характеристики производных случайных функций. К сожалению, явный вид процесса  по приведенным выше теоремам получить не удается. Это удается сделать в некоторых случаях на основе следующего определения.

Определение 5. Случайная функция X(t), , называется дифференцируемой на Т (потраекторно), если почти все ее траектории – дифференцируемые функции, то есть .

Покажем, как использовать определение для получения процесса . Пусть - производная траектории   СП X(t), - с.к. производная X(t), , то - стохастически эквивалентны, то есть .

Пример 6.  Пусть  где  - некоррелированные случайные  величины с математическими ожиданиями дисперсиями  а - непрерывные на Т неслучайные функции. Найти .