Операции анализа над случайными функциями, страница 3

Решение. Траектории СП X(t) имеют вид , где - неслучайные числа, следовательно, для всех . Если X(t)- с.к. дифференцируемый СП, то его производная согласно вышеизложенному совпадает почти всюду с производной траекторий , то есть .

Остается проверить с.к. дифференцируемость СП X(t) по теореме 4: - дифференцируемы нужное число раз, при этом    .

3.4.  Интегрируемость случайных функций

Определение интеграла от случайной функции X(t), , дословно повторяет определение интеграла Римана на отрезке . Пусть X(t) – случайная с.к. непрерывная функция,  - неслучайная непрерывная функция двух переменных ,  - некоторое разбиение отрезка  с мелкостью разбиения . Выберем на отрезках  длины  произвольные (не случайные!) точки  и составим сумму .

Определение 6.  С.к. интегралом от СФ  по области Т называется с.к. предел последовательности интегральных сумм  при , если он существует:    .

Интеграл  называют еще с.к. интегралом от СФ X(t) с весом .

Теорема 5. С.к. интеграл от СФ X(t) с весом  по промежутку существует тогда и только тогда, когда существует интеграл

, или, что то же самое, с.к. интеграл от СФ Х(t) с весом  по промежутку  существует тогда и только тогда, когда существуют  интегралы  и   .

Доказательство теорем опирается на стохастический критерий Коши  с.к. сходимости.      Справедливы соотношения:

               (3)

При этом  представляет собой момент второго порядка для интеграла Y(t), то есть .

В частном случае, когда  зависит только от , то есть , с.к. интеграл от СФ X(t) с весом  будет уже просто случайной величиной  , для которой первые две формулы из (3) принимают вид: , .

Формулы (3) легко можно доказать, опираясь на определение ковариационной матрицы и замечание в конце п.3.1.

Если X(t) – n-мерный СП, тогда  - матрица размерности  и все формулы (3) имеют место с очевидными изменениями: вторая из них запишется в виде:   

, а последняя - в виде:

Среднеквадратический  интеграл Y(t) обладает некоторыми свойствами определенного интеграла:

1. Если - с.к. непрерывная на Т функция, то с.к. интеграл Y(t) существует.

2.Линейность интеграла:  где неслучайные коэффициенты, а  - с.к. интегрируемые на отрезке функции.

3. Правило дифференцирования по верхнему пределу.

Прежде всего введем определение такого интеграла.

Если ,   - интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. В более общем виде такие интегралы имеют вид

,                                                     (4)        где , X – с.к. непрерывная cлучайная  функция.

Для интеграла    существует производная

                                                            (5)

Этот результат можно получить, если рассмотреть  и показать, что в пределе при  это выражение  обращается в нуль.

В рассматриваемом случае из равенств

,   

в точках непрерывности подынтегральных функций следуют равенства 

,  .

4. Интегрирование по частям. Если в интеграле Y(t) , Х(t) – с.к. непрерывная случайная функция , имеющая с.к. производную , тогда справедлива  формула

         (6)

Из формулы (6), рассматривая интеграл в левой части как с.к. предел интегральных сумм и учитывая непрерывность дифференцируемой функции , можно  получить формулу  для с.к. производной произведения:

.

Пример 7.  Пусть W(t), , стандартный винеровский процесс. Докажем, что он с.к. интегрируем на Т с весом .

Решение. Воспользуемся  теоремой 5.   Среднеквадратический  интеграл  существует, если существует интеграл  и  существует интеграл

.

Знаем, что ,  .  Но тогда

  и

=.

Оба интеграла конечны, следовательно, существует и интеграл Y(t).

Пример 8.  Найти , если

,   .

Решение.

 

При  вследствие симметрии матрицы  выражение для  будет аналогичным, только  и  поменяются местами. Окончательно получаем