Операции анализа над случайными функциями

III. Операции анализа над случайными функциями

Все операции математического анализа опираются на понятия предела и сходимости.

Если же  определять операции анализа над случайными функциями,  неизбежно приходится опираться на понятие вероятностной сходимости. Но вероятностной сходимости существует  много видов, какую из них предпочесть? В теории вероятностей мы рассматривали сходимость по вероятности, с вероятностью 1 (почти наверное), в среднем квадратическом, по распределению. 

В теории случайных процессов предпочтение отдается средней квадратичной сходимости или с.к. сходимости, поскольку при этом виде сходимости получается довольно несложная теория дифференцирования и интегрирования случайных функций, дающая удобные практические методы исследования случайных функций.

3.1. Средняя квадратическая сходимость

Для последовательностей случайных величин  среднюю квадратическую сходимость мы рассматривали в теории вероятностей. Определение с.к. сходимости аналогично в случае однопараметрического семейства случайных величин  с конечными моментами второго порядка: говорят, что  с.к. сходится к X при ,  , если   .

Лемма Лоэва.  Пусть ,   - два семейства случайных  величин и  ,  ,  ,  . Тогда  ,  .

Доказательство. . Применим к каждому слагаемому правой части известное из теории вероятностей неравенство для моментов второго порядка (неравенство Шварца):

,  ,  далее, учитывая, что  остается ограниченной величиной при , так как

, получим результат.

Следствие 1.  Если  , то , .

Следствие 2.  Если  , то для любой с. в. Y ,.

Следствие 3.  Если  ,  то , , .

Для доказательства последнего результата достаточно воспользоваться равенством , на основании которого можно утверждать, что с.к. сходимость  , влечет сходимость ,, и  с.к. сходимость  . Затем к последнему из полученных результатов следует применить следствие 1.

Можно доказать обратное по отношению к лемме Лоэва утверждение: если существует , то существует и с.к. предел с. в.  при .  

Действительно, пусть . Рассмотрим

. Перейдем к пределу при , :   , так как предел каждого из слагаемых правой части равен А. Следовательно,  - фундаментальна и, значит, существует с.к. предел для .

Теперь можно сформировать так называемый стохастический критерий Коши с.к. сходимости:

Для с.к. сходимости с.в.  к некоторой с.в. X при  необходимо и достаточно сходимости  к неотрицательному пределу при .

Или, что то же самое, для с.к. сходимости с.в.  к некоторой с.в. X при  необходимо и достаточно сходимости  1)  к конечному пределу при  и                2)  центрального момента  к конечному пределу при .

Замечание.  Если  то есть  тогда (следствие 3 леммы Лоэва). Последнее равенство с учетом первого соотношения перепишем в виде

.

Пример 1.  Пусть X(t), , - винеровский скалярный процесс с единичным коэффициентом диффузии. Пусть  и , и . Покажем, что существует с.к. предел

.

Решение. Согласно определению винеровского процесса случайные   величины  , , независимы, имеют нулевое математическое ожидание и дисперсии .

Так как

то очевидно, что

3.2. Средняя квадратическая непрерывность случайных функций

Определение 4. Скалярная случайная функция X(t), , называется непрерывной в среднем квадратическом или, короче, с.к. непрерывной в точке , если

.

Если СФ X(t) с.к. непрерывна в любой точке , то она называется с.к. непрерывной в области T.

Необходимое и достаточное условия с.к. непрерывности СФ X(t), , можно выразить одним из утверждений:

Теорема 1. Для с.к. непрерывности СФ X(t) в области Т необходима и достаточна непрерывность функции  = на  множестве Т Т.

Теорема 2. Случайная функция  X(t) с.к. непрерывна  на области Т тогда и только тогда, когда                  

1)непрерывно на Т ее математическое ожидание  и

2) непрерывна на области Т Т ее ковариационная функция .

Справедливость теорем следует из определения функции, непрерывной в среднем квадратическом, и двух формулировок стохастического критерия Коши с.к. сходимости.

Пример 2. Покажем, что винеровский процесс является с.к. непрерывным.

Решение. Ковариационная функция винеровского процесса , , удовлетворяет требованиям теоремы 2.

Пример 3. Пусть СФ X(t) задана на  следующим образом:    где U, V – независимые  одинаково распределенные случайные величины со средним m и дисперсией D>0. Исследовать на непрерывность СФ X(t).

Решение. непрерывна на Т. Найдем теперь . Если , то . Аналогично,   , если . Если же  разрывна в точке , так как и

Замечание. Из условия с.к. непрерывности СП ничего нельзя сказать о непрерывности реализаций СП.  Возможны самые различные комбинации: процесс с.к. непрерывен, но почти все его траектории разрывные функции, или же все траектории процесса  непрерывные функции, сам же процесс не является  с. к. непрерывным  и т.д. 

3.3. Дифференцирование случайных функций

Определение 4. Скалярная СФ X(t) называется с.к. дифференцируемой в точке , если существует такая случайная функция , к которой с.к. сходится при  случайная функция . Случайная функция  называется с.к. производной случайной функции X(t) в точке t.