Операции анализа над случайными функциями, страница 10

Итак, выражение (32) дает общий вид  решения уравнения (30).

Упражнения

1. Можно ли утверждать, что с.к. предел случайной функции  обладает обычными свойствами предела неслучайной функции?

2. Можно ли утверждать, что с.к. предел последовательности с.в. обладает обычными свойствами предела последовательности?

3.  Доказать, что линейная комбинация и произведение с.к. непрерывных на Т скалярных процессов  – с.к.  непрерывные на Т скалярные СП.

4.  Пусть  - некоррелированные с.в. и  Доказать, что последовательность с.в.  сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся числовые ряды .

5. Пусть  скалярные СП, причем

. Доказать, что

6. Пусть  - двумерный винеровский процесс, исходящий из нуля, и . Пусть - некоторое разбиение отрезка . Доказать, что существует , где λ – мелкость разбиения отрезка.

7.  Будет ли с.к.  дифференцируемым на Т   случайный процесс - с.в.,  распределенная равномерно на отрезке .

8. Пусть - с.в., распределенная по равномерному  закону на отрезке . Является ли: а) СП , с.к. дифференцируемым? б) произвольная реализация СП , дифференцируемой?

9. Пусть , где - некоррелированные с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, равными 0,1. Найти м.о., дисперсию и ковариационную функцию СП .

10. Найти , если ,  .

11. Дифференцируемый  в среднем квадратическом смысле СП , имеет м.о.  и ковариационную функцию . Найти м.о. и ковариационную функцию СП .

12. Пусть - стационарный в широком смысле СП, с.к. дифференцируемый на Т. Является ли стационарным в широком смысле СП ?

13. Найдите одномерный закон распределения векторного СП , если  - нормальный скалярный стационарный в широком смысле СП с нулевым математическим ожиданием  и ковариационной функцией .

14. Пусть , - скалярный стационарный в широком смысле с.к. дифференцируемый на T процесс.  Является ли стационарным  в широком смысле СП ?

15.  Пусть , - с.к. интегрируемый на T скалярный СП с известной ковариационной функцией . Найти взаимную ковариационную функцию , если .

16. Ковариационная функция СП  X(t)-  ,

α, β>0. Определить дисперсию СП .

17. Задана ковариационная функция  СП . Пусть . Найти .

18. Ковариационная функция СП X(t) имеет вид . Найти

, если ,  а также ,   если .

19. Случайная функция   задана выражением .        Найти м.о. и дисперсию случайной функции  - постоянные.

20.  Показать, что если X(t) - нормальный стационарный в широком смысле с.к. дифференцируемый СП, то процесс  также нормальный стационарный в широком смысле. Найти , если

.

21. Является ли с.к. дифференцируемым винеровский процесс?

22. Является ли СП , эргодическим по отношению к м.о. , если где  имеет нормальное распределение с параметрами .

23.Пусть - с.к. дифференцируемый на Т скалярный СП,  Найти , определить ее наибольшее значение. Будет ли СП  эргодическим по отношению к его м.о.?

24. Будет ли с.к. дифференцируемым  и с.к. непрерывным пуассоновский процесс?

25. Пусть  - с. величина с  Найти , если .

26. Случайный процесс   имеет математическое ожидание   ковариационную функцию . Найти  если .

27. Случайный процесс , имеет математическое ожидание  ковариационную функцию . Найти  если .

28. Случайный процесс с. в. с математическим ожиданием 

 дисперсией   Найти  если  - постоянные.

29. Дифференцируем ли стационарный СП ?

30.  Сколько раз с.к. дифференцируем СП X(t) с , имеющей вид: а) б) . Записать , если она существует и найти дисперсии процессов.

31. Показать, что  стационарного СП  и его производной  удовлетворяет условию: .

32. Нормальный стационарный СП    имеет  Вычислить .

33. Стационарный нормальный СП имеет . Найти двумерную плотность совместного распределения вероятностей процессов   в один и тот же момент времени.

34. СП  - стационарный  , с известной ковариационной матрицей . Показать, что  а)   б) , если .

35. Задана  - ковариационная функция стационарного процесса . Найти .