Операции анализа над случайными функциями, страница 4

В заключение отметим, что операция с.к. интегрирования также не позволяет найти интеграл Y(t) в явном виде. Иногда это удается сделать точно таким же способом, как и для  получения с.к. производной. Пусть X(t) такова, что все ее реализации интегрируемы по Риману на множестве Т, то есть . Тогда  - случайная  величина. Если X(t) к тому же с. к. интегрируем, то потраекторный интеграл   и с. к. интеграл  совпадают с вероятностью 1. Рассмотрим пример.

Пример 9. Пусть  и U и V – независимые гауссовские с. величины с . Найти явный вид интеграла

Решение. Для любого ω траектория СФ X(t) имеет вид:  и как линейная комбинация интегрируемых функций интегрируема на любом конечном отрезке                      (7)

Далее, СФ X(t) является при каждом t гауссовской с параметрами . Условия теоремы 5 для функций  выполняются, поэтому с.к. интеграл Y(t) существует и почти всюду равен  правой части выражения (7), то есть  Его вероятностные характеристики имеют вид

3.5. Стохастические дифференциальные уравнения (I тип)

Введенные выше понятия с.к. производной и с.к. интеграла позволяют рассмотреть  стохастические дифференциальные уравнения вида:

,                                        (8)

где  - с.к. производная  СП X(t),  ξ(t) – с.к. непрерывная при t≥0 случайная функция, A(t), B(t) – непрерывные неслучайные функции,  - некоторая случайная величина.

Уравнение (8)  записывают в иной, эквивалентной форме: .

Определение  7. СФ X(t), t≥0, является решением уравнения (8) с начальным условием , если при любом t≥0 выполнено соотношение

,                                                     (9)

где в правой части  равенства (9) все интегралы понимаются в среднеквадратическом  смысле.

С точки зрения определения (7) равенство (9) эквивалентно равенству (8)    в том смысле, что оба этих выражения определяют один и тот же  СП .

Можно проверить, что решением дифференциального уравнения (8) или, что все равно, (9) является СП , имеющий вид

,                                                  (10) где  - решение уравнения 

                                                       (11)

Из теории ОДУ известно, что матричная функция  из (11) такова, что ≠0 при любом t≥0, а  функция A(t) – кусочно непрерывна.

Вычислим с.к. производную равенства (10) с учетом всех свойств операций с.к. дифференцирования и интегрирования, отмеченных выше, ‌‌‌‌‌| с учетом формулы (11)|=|с учетом формулы (10)| =

Осталось проверить выполнение начального условия:  В силу (11) , следовательно, начальное условие выполняется.            Выражение (10) позволяет выписать явный аналитический вид решения уравнения (8) во многих практически важных случаях.

Пример 10. Пусть X(t), t≥0, удовлетворяет  уравнению  где  образуют гауссовский  случайный вектор, причем Найти закон распределения X(t) при любом t≥0.

Решение. Уравнение (11) для данного случая имеет вид  Поэтому  Общее решение уравнения, заданного в условии задачи, согласно формуле (10) имеет вид   

Видим, что как линейная комбинация гауссовских случайных величин  X(t)–гауссовская  с. в. с параметрами

3.6.Слабая средняя квадратическая сходимость и обобщенные случайные функции

Определив с.к. дифференцирование и с.к. интегрирование на основе понятия с.к. сходимости последовательности случайных величин, мы приходим к понятию с.к. сходимости последовательности случайных функций.

Определение 7. Последовательность СФ , , называется сходящейся в среднем квадратическом смысле к СФ  X(t), если последовательность значений  этих случайных функций  с.к. сходится к соответствующему значению  случайной функции  X(t) при всех .

Случайная функция X(t) называется с.к. пределом последовательности .         Пусть  - некоторый класс ограниченных функций переменной t, каждая из которых отлична от нуля только в некоторой конечной области (это существенно только если Т – бесконечная область).