Синтез линейных следящих систем. Определение добротности следящей системы по заданной точности, страница 11

Пример.  Рассчитать параметры следящей системы с комбинированным управлением, структурная схема которой изображена на рис.5.24., обеспечивающие максимальную ошибку слежения Е _мах£ 0,2° при отработке гармонического сигнала с параметрами W_мах=180°/С, а_мах=150°/С². Показатель  колебательности системы М£1,4. Параметры системы: К_с=0,1 В/град.; К _у.м.=25; Т_у= 0,05 с; К_gb=6,25 рад/(В с); Т_дв= 0,1 С; К _ред=0,005.

Решение. Определим коэффициент передачи системы, обеспечивающий показатель колебательности М=1,4, по выражению

М²+МÖМ²-1      1,4²+1,4Ö1,4²-1

К_u=        2SТ          =   2(0,1+0,05)        = 11с^-1

Рассчитаем коэффициент усиления предварительного усилителя, приняв

Кu=10 с^-1:

         К_{u_______}               10_____________

К_у1=  К_сК_умК_двК_ред =  0,1*57,3*25*6,25*0,005  =2,24

Найдем передаточную функцию по ошибке в системе без компенсирующей цепи:

__1____                       1_________     р+0,15р²+0,005р³

К_eg(р)=  1+К(р)   =     1+  К_{u_________________}   =  10+р+0,15р²+0,005р          

                                                                 Р(1+Т_двр)(1+Т_ур)

Разделив полином числителя на полином знаменателя, найдем коэффициент ошибок:

С_og=0; C_1g= 1/К_u=0,1с; С2g= SТ/ К_u-1/К_u²=0,15/10-1/100= 0,005 с²;

С_4g= 1/К_u[(Т_двТ_у- (Т_дв+Т_у)/К_u) – 1/К_u(Т_дв+Т_у-1/К_u)]= -0,0015 с³

Вычислим составляющие по скорости, ускорению и третьей производной:

Е_u= W_мах/К_u= 180/10=18°; Е_а=а_махС_2д=150*0,005=0,75°;

Е_а= - а_махw_kc_зд= - (а²_мах/W_мах) С_за= (150²/180)*0,0015=0,185°<Е_gon=0,2°

Для обеспечения заданной точности необходимо компенсировать ошибки по скорости и ускорению, т.е. ввести компенсирующие сигналы по скорости и ускорению движения командной оси. Для компенсации ошибки используем тахогенератор и пропорционально-дифференцирующий RC- контур (рис.5.25.).

Их передаточные функции: К_тг(р)=К_тгр; К_rc(p)=R_rc (1+T_p)/(1+T_np), где К_rc=T_n/Т.

Тахогенератор соединяется с командной осью через повышающий редуктор, передаточное отношение которого i_p2 выбирается из условия согласования скоростей или из условия допустимого момента нагрузки на командную ось. Определим возможное передаточное число редуктора, считая номинальную частоту вращения тахогенератора П _т.г.ном=2000 об/мин:

К_р2=ш_р2£ W_т.г.ном/ W_мах= 2000*360/60*180=66,7

Передаточная функция компенсирующей цепи:

А₁р+а₂р²

К_к(р)=К_тг(р)К_rc(р)= 1+Т_nр      , где      а₁=К_р2К_тгК_кс;      а₂=а₁Т

Найдем передаточную функцию по ошибке с учетом компенсирующей цепи:

А₁р+а₂р²        К_{2_______________}

1-R_r(p)K₂(p)       1- 1+Т_nр        р(1+Т_двр)(1+Т_ур)_      

К_eg(p)= 1+К(р)           =   1+ ________Кu_____                   =

Р(1+Т_двр)(1+Т_ур)

(1-а₁к₂)р+(Т_дв+Т_у+Т_n-а₂к₂)р²__      ТдвТуТnр4__________________

=    [р(1+Т_двр)(1+Т_ур)+К_u] (1+Т_np)   +    [р(1+Т_двр)(1+Т_ур)+К_u](1+Т_nр)

Приравняв к нулю коэффициенты при р и р² в числителе, найдем условия компенсации ошибок по скорости и ускорению:

А₁=1/К₂;          а₂=(Т_дв+Т_у+Т_n)/К₂

Рассчитаем коэффициенты а₁ и а₂, приняв Т_n=0,2; Т_у=0,01с:

А₁= 1/К_умК_двК_ред=1/25*6,25*0,005=1,28 Вс/рад

А₂= (Т_дв+Ту+Тn)/К₂=(0,1+0,05+0,01)/0,78=0,2 Вс²/рад

Определим требуемую постоянную времени дифференцирующего контура:

Т= а₂/а₁=0,2/1,28=0,156с

Найдем коэффициент передачи RC-контура:

К_rc=Т_n/Т=0,01/0,156=0,064

Приняв коэффициент передачи редуктора К_р2=50, найдем требуемый коэффициент передачи тахогенератора:

К_тг=а₁/К_р2К_rc = 1,28/50*0,064=0,4 Вс/рад

Рассчитаем параметры RC-контура. Зададимся величиной емкости с=1 мкф и определим:

R₁=T/C=0,156/10^-6=156 ком

Вычислим величину сопротивления R_2:

R₂=(К_rc/1-K_rc)R₁=(0,064/1-0,064)*156=10,7 ком

Регулировка крутизны тахогенератора осуществляется потенциометром R₃.