Уравнивание нивелирных сетей (Глава 2 дипломного проекта)

2. УРАВНИВАНИЕ НИВЕЛИРНЫХ СЕТЕЙ

2.1. Параметрический способ

2.1.1. Общие сведения

Будем уравнивать нивелирную сеть по методу наименьших квадратов (МНК). Если результаты измерений неравноточны и известны их веса р_i, то принцип наименьших квадратов   имеет   вид

                                                                                  (17)

Введем вектор поправок к измеренным величинам и диагональную матрицу весов результатов измерений

                                                (18)

Тогда выражение (17) примет вид

                                                                                   (19)

Существует два основных способа уравнивания – параметрический и коррелатный способы. Главная разница между этими способами заключается в различии типов исходных уравнений, решаемых на основе принципа наименьших квадратов.

Параметрический способ уравнивания заключается в том, что уравненные значения измеренных величин получаются из решения по методу наименьших квадратов уравнений, связывающих уравненные величины с системой функционально независимых аргументов, именуемых параметрами.

Рассмотрим порядок уравнивания параметрическим способом. Пусть независимо измерены  n  величин и при этом получены результаты y₁, y₂, … , y_n с весами p₁, p₂, … , p_n, соответственно. Надо произвести параметрическое уравнивание результатов измерений, в итоге которого должны быть получены значения независимых параметров x₁, x₂, … , x_tи уравненные значения измеренных величин y₁, y₂, …, y_n.

                                                                   (20)

Здесь v_i– поправки к результатам измерений.

Выбирают  независимые  параметры ,количество  которых  должно  быть  равно  числу  необходимых  измерений  t:

x₁, x₂, …, x_t.

Представляют каждое уравненное значение измеренной величины как функцию искомых параметров

Отсюда

  с  весом                                (21)

Выражения (21) называют параметрическими уравнениями связи. Искомые величины в них являются параметры  x. Важную роль играет выбор независимых параметров. При выборе нужно учитывать, чтобы  функции параметров  уравнений были  по  возможности  более  простыми.

В ряде случаев эти уравнения имеют нелинейный вид относительно искомых параметров x_j, что затрудняет их непосредственное решение по методу наименьших квадратов. В связи с этим, уравнения (21) приводят к линейному виду, что называется линеаризацией. Для выполнения линеаризации вводят приближенные значения параметров – . Тогда окончательные их значения будут равны

                                                                (22)

Здесь   dx_j - поправки, определяемые из уравнивания.

Подставляя в (21) вместо x_j их значения из (22) получаем выражения

                                                (23)

Полагая, что поправки dx_j достаточно малы, по сравнению с x_j, разлагаем эти выражения в ряд Тейлора и ограничиваемся членами первого порядка малости

            (24)

Частные производные здесь вычисляются при значениях аргументов .

Обозначим

(25)

Тогда  выражения  (24)  примут  вид

                                                     (26)

Это параметрические уравнения связи, представленные в линейном виде, которые называются параметрическими уравнениями поправок. Коэффициентами этих уравнений являются частные производные функций по соответствующим параметрам. Свободными членами этих уравнений являются разности между функциями приближенных значений параметров и результатами измерений.

Введем матрицу коэффициентов параметрических уравнений поправок Аnt, вектор свободных членов Ln1 и вектор неизвестных Хt1

                              (27)

Принимая во внимание эти обозначения, а также обозначения (18) , представляем систему параметрических уравнений поправок (26) в виде матричного уравнения

                                  (28)

Решение матричного уравнения (28) подчиним условию наименьших квадратов

которое, в соответствии с (28), представим так

.                                               (29)

Раскроем скобки

и введем обозначения

                                                                                    (30)

                                                                                     (31)

Тогда выражение (29) примет вид

Здесь учтено, что   

Выражение       представляет собой скаляр, а потому

Принимая   это во внимание, можем написать окончательно

                                             (32)

Транспонируя левую в правую части равенства (30), убеждаемся, что

                                                                                              (33)

то есть матрица Ntt  симметричная.

Для определения вектора Xt1, удовлетворяющего условию наименьших квадратов, произведем дифференцирование выражения (32) по этому вектору и приравняем полученный результат нулевому вектору.

Пользуясь правилами дифференцирования по вектору, получаем

или, после транспонирования и деления на 2,