Вычисление определенного интеграла. Формулирование правила Рунге для практической оценки погрешности формулы

Тема 4. Вычисление определенного интеграла.

Задание 1.

1. Привести квадратурную формулу средних прямоугольников для приближенного вычисления интеграла , выражение для остаточного члена и его оценку для достаточно гладких функций. Сформулировать правило Рунге для практической оценки погрешности этой формулы и указать класс функций, для которых оно теоретически обосновано.

2. Составить программу, реализующую вычисление интеграла с помощью формулы из п.1 с заданной точностью e. Точность формулы оценивать по правилу Рунге.

Входные данные программы: a, b, f, e; n – начальное число узлов; m – предельное число узлов.

Выходные результаты: k – число узлов, обеспечивающее заданную точность вычисления интеграла, S_k – приближенное значение интеграла.

3. Используя составленную программу, вычислить интеграл

 с точностью e=10^-4.                                                             (*)

Вычислить аналитически точное значение интеграла и погрешность его приближения S_k. Пользуясь теоретической оценкой погрешности формулы (п.1), найти число узлов, обеспечивающее ту же точность вычисления интеграла (*).

Литература.

1. Волков Е.А. Численные методы. М.1982.

Тема 4. Вычисление определенного интеграла.

Задание 2.

1. Привести составную квадратурную формулу трапеций (СКФТ) для приближенного вычисления интеграла , выражение для ее остаточного члена и его оценку для достаточно гладких функций. Сформулировать правило Рунге для практической оценки погрешности этой формулы и указать класс функций, для которых оно теоретически обосновано.

2. Составить программу, реализующую вычисление интеграла по СКФТ с заданной точностью e. Точность (погрешность) формулы оценивать по правилу Рунге. Предусмотреть в программе экономизацию вычисления квадратурной суммы при переходе к половинному шагу.

Входные данные программы: a, b, f, e; n – начальное число узлов; m – предельное число узлов.

Выходные результаты: k – число узлов, обеспечивающее заданную точность вычисления интеграла, S_k – приближенное значение интеграла.

3. Используя составленную программу, вычислить интеграл

 с точностью e=10^-5.                                                         (*)

Вычислить аналитически точное значение интеграла и погрешность его приближения S_k. Пользуясь теоретической оценкой погрешности формулы (п.1), найти число узлов, обеспечивающее ту же точность вычисления интеграла (*).

Литература.

1. Бахвалов Н.С. Численные методы., Наука, М.1973.

2. Волков Е.А. Численные методы. М.1982.

Тема 4. Вычисление определенного интеграла.

Задание 3.

1. Привести составную квадратурную формулу Симпсона (СКФС) для приближенного вычисления интеграла , выражение для ее остаточного члена и его оценку для достаточно гладких функций. Сформулировать правило Рунге для практической оценки погрешности этой формулы и указать класс функций, для которых оно теоретически обосновано.

2. Составить программу, реализующую вычисление интеграла по СКФС с заданной точностью e. Точность (погрешность) формулы оценивать по правилу Рунге. Предусмотреть в программе экономизацию вычисления квадратурной суммы при переходе к половинному шагу.

Входные данные программы: a, b, f, e; n – начальное число узлов; m – предельное число узлов.

Выходные результаты: k – число узлов, обеспечивающее заданную точность вычисления интеграла, S_k – приближенное значение интеграла.

3. Используя составленную программу, вычислить интеграл

 с точностью e=10^-4.                                                             (*)

Вычислить аналитически точное значение интеграла и погрешность его приближения S_k.

Пользуясь теоретической оценкой погрешности формулы (п.1), найти число узлов, обеспечивающее ту же точность вычисления интеграла (*).

Литература.

1. Волков Е.А. Численные методы. М.1982.

Тема 4. Вычисление определенного интеграла.

Задание 4.

1. Привести составную квадратурную формулу Гаусса (СКФГ) для приближенного вычисления интеграла , выражение для ее остаточного члена и его оценку для достаточно гладких функций. Сформулировать правило Рунге для практической оценки погрешности этой формулы и указать класс функций, для которых оно теоретически обосновано. В качестве основной использовать КФГ с 2 узлами; координаты этих узлов для отрезка [-1, 1] и соответствующие им коэффициенты взять из книги [1]. Шаг разбиения отрезка [a, b] – постоянный.

2. Составить программу, реализующую вычисление интеграла по СКФГ (с двумя узлами в основной формуле) с заданной точностью e. Точность (погрешность) формулы оценивать по правилу Рунге.

Входные данные программы: a, b, f, e; n – начальное число отрезков разбиения отрезка [a, b]; m – предельное число этих отрезков.

Выходные результаты: k – число узлов, обеспечивающее заданную точность вычисления интеграла, S_k – приближенное значение интеграла.

3. Используя составленную программу, вычислить интеграл