Вычисление определенного интеграла. Формулирование правила Рунге для практической оценки погрешности формулы, страница 6

Литература.

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений., Т.1., М.1959, 1961, гл.3, §5.

2. Методические указания по вычислительному практикуму. Ч. II., Л., 1983, стр. 34-35.

Тема 4. Вычисление определенного интеграла.

Задание 17.

1. Изложить алгоритм вычисления определенного интеграла  по составной квадратурной формуле трапеций с автоматическим выбором шага интегрирования по заданной точности e и теоретические основы этого алгоритма [1, гл.4, §1], [2, гл.13, стр.398-400].

2. Составить программу, реализующую алгоритм п.1.

Входные данные программы: a, b, f, e; h – начальный шаг интегрирования; h_min – минимальное значение шага интегрирования.

Выходные результаты: S – приближенное значение интеграла, n – число шагов интегрирования, обеспечивающее требуемую точность вычисления интеграла.

3. С помощью составленной программы вычислить интеграл

 с точностью e=10^-4.                                                           

Вычислить интеграл аналитически и найти погрешность приближенного значения интеграла, полученного при использовании составленной программы.

Литература.

1. Самарский А.А., Гулин А.В.  Численные методы. М.1989.

2. Амосов А.А. и др. Вычислительные методы для инженеров. М. 1994.

Тема 4. Вычисление определенного интеграла.

Задание 18.

1. Изложить алгоритм вычисления определенного интеграла  по составной квадратурной формуле Симпсона с автоматическим выбором шага интегрирования по заданной точности e и теоретические основы этого алгоритма [1, гл.4, §1], [2, гл.13 §13.4].

2. Составить программу, реализующую алгоритм п.1.

Входные данные программы: a, b, f, e; h – начальный шаг интегрирования; h_min – минимальное значение шага интегрирования.

Выходные результаты: S – приближенное значение интеграла, n – число шагов интегрирования, обеспечивающее требуемую точность вычисления интеграла.

3. С помощью составленной программы вычислить интеграл

 с точностью e=10^-5, для m=10^-3, 10^-4, 10^-5.

Вычислить этот же интеграл по составной квадратурной формуле Симпсона с постоянным шагом разбиения отрезка интегрирования. Выяснить точность полученных приближенных значений, сравнив их с точными, аналитически вычисленными значениями интеграла.

Литература.

1. Самарский А.А., Гулин А.В.  Численные методы. М.1989.

2. Амосов А.А. и др. Вычислительные методы для инженеров. М. 1994.

Тема 4. Вычисление определенного интеграла.

Задание 19.

1. Построить малую квадратичную формулу типа Гаусса , c³0, с одним узлом. Привести выражения погрешности этой формулы для  и оценку погрешности через длину отрезка [c, d]. Построить составную квадратурную формулу типа Гаусса (СКФТГ) для интеграла , а³0, разбив отрезок [a, b] на n равных частей [z_i-1, z_i], где . Привести выражение погрешности СКФТГ и ее оценку через  для .

2. Составить программу, реализующую вычисление интеграла по СКФТГ.

Входные данные программы: a, b, f,; n – начальное число отрезков разбиения отрезка [a, b]; m – предельное число этих отрезков.

Выходные результаты: n, S_k – приближенное значение интеграла.

3. Вычислить интеграл  при n=10,20,30 с помощью составленной программы. Пользуясь теоретической оценкой погрешности СКФТГ из п.1, выяснить, какое число разбиений гарантирует вычисление интеграла с точностью 10^-3. Вычислить интеграл для этого числа разбиений и найти погрешность приближенного значения интеграла, сравнив его с точным значением, вычисленным аналитически.

Литература.

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений., Т.1., М.1959, 1961, гл.3, §5.

2. Методические указания по вычислительному практикуму. Ч. II., Л., 1983, стр. 34-35.

Тема 4. Вычисление определенного интеграла.

Задание 20.

1. Изложить алгоритм вычисления определенного интеграла  по составной квадратурной формуле Гаусса с автоматическим выбором шага интегрирования по заданной точности e и теоретические основы этого алгоритма [1, гл.4, §1], [2, гл.13 §13.4]. В качестве малой формулы взять формулу Гаусса с двумя узлами.

2. Составить программу, реализующую алгоритм п.1.