Методы синтеза непрерывных адаптивных систем с эталонными моделями. Адаптивная система с настраиваемым коэффициентом усиления. Синтез адаптивных систем градиентным методом. Синтез адаптивных систем по схеме скоростного градиента, страница 6

Впоследствии метод стали использовать для оценивания быстродействия системы. Примерно в 70-е годы прошлого столетия метод нашел применение в задачах синтеза адаптивных регуляторов. Термины «функция Ляпунова» и «прямой метод Ляпунова» введены Н.Г. Четаевым в 1946 г.

Рис. 3.12

Рис. 3.13

Рассмотрим синтез адаптивных регуляторов методом функций Ляпунова для линейного объекта управления, модель которого имеет вид (3.25)

где х ÎRn– вектор состояния, uÎRm – вектор управления, nm; A, B – неизвестные матрицы параметров объекта управления, dimA = nxn, dimB = nxm, , .  Коэффициенты матриц А, В заранее не известны. Известно лишь, что значения коэффициентов ограничены, т.е.

          для всех     i, j, r, p.

Вектор состояния считается доступным измерению, поэтому y = xy – вектор выходных переменных.

Желаемая динамика задаётся эталонной моделью вида (3.26)

где хм ÎRn – вектор состояния эталонной модели, rÎRm – вектор задающих воздействий. Выбор эталонной модели зависит от требований, предъявляемых к замкнутой системе (времени переходного процесса, перерегулирования, астатизма и т.д.). Эталонная модель должна быть устойчивой, т.е. матрица коэффициентов Ам – гурвицева, поэтому уравнение det (pIAм) = 0 имеет все корни с отрицательной вещественной частью, I – единичная матрица соответствующей размерности; Вм – матрица полного ранга.

Цель функционирования системы зададим предельным уравнением (3.27)

где e(t) – ошибка системы.

3.4.1. Синтез основного контура

Объект управления (3.25) подвержен действию параметрических возмущений. Поэтому в дальнейшем рассмотрим синтез системы с параметрической адаптацией.

Сначала полагаем, что параметры ОУ известны. Для получения структуры «идеального» регулятора запишем уравнение в отклонениях

,

,

  .                    (3.43)

Условие разрешимости задачи синтеза согласно (3.43) имеет вид

.                             (3.44)

Разрешая уравнение (3.44) относительно u(t), получим 

помножим слева каждую часть уравнения на BT

полагаем det (BTB) ¹ 0 , запишем уравнение «идеального» регулятора

 .                            (3.45)

Полученное выражение аналогично закону управления в системах со скоростным градиентом. Если реализовать управление вида (3.45), то система будет описываться уравнением

Решение этого уравнения равномерно асимптотически устойчиво в силу гурвицевости матрицы Ам. Следовательно, при «идеальном» законе управления (3.45) цель достигается.  Уравнение (3.45) можно записать в виде

                                         (3.46)

где  -  матрицы идеальных коэффициентов регулятора. Приравнивая коэффициенты в (3.45), (3.46),  найдём соотношение между ними, для коэффициентов при х:

 

                                       (3.47)

и для коэффициентов при r:

 

 .                                            (3.48)

После подстановки (3.48) в (3.47), имеем

.                                        (3.49)

Условия (3.48), (3.49) называют условиями согласования модели и ОУ.

«Идеальный» закон управления (3.45) или (3.46) не реализуем, так как параметры ОУ не известны. Поэтому заменим идеальные коэффициенты регулятора () настраиваемыми коэффициентами (kr, kx). Структура регулятора описывается уравнением

.                             (3.50)

Выражение (3.50) называется реальным законом управления. Подставив  (3.50) в модель ОУ, получим уравнение обобщенного настраиваемого объекта

                                        (3.51)

аргумент t опущен для упрощения записи. 

3.4.2. Синтез контура адаптации

На этом этапе расчета системы определяются уравнения,  в соответствии с которыми настраиваются коэффициенты регулятора, т.е. алгоритмы изменения kr, kx.  Получим описание обобщенного настраиваемого объекта в отклонениях. Введем обозначения

и подставим (3.50) в (3.43), тогда

, учитывая, что , выполним преобразования

,