Системы автоматического поиска экстремума. Основные понятия и определения. Описание объекта управления. Типовые модели экстремальной характеристики объекта, страница 4

При малой амплитуде поискового сигнала можно считать, что статическая экстремальная характеристика в малой окрестности рабочей точки  линейна (рис. 11.11), поэтому заменим ее касательной. В этом случае уравнение статической экстремальной характеристики принимает вид

,                                     (11.18)

где k – тангенс угла наклона касательной, который определяется соотношением

.                                        (11.19)

Таким образом, k  =  G. В дальнейшем используем это обозначение.

Сигнал на входе экстремального объекта представляет собой сумму

.                               (11.20)

Для простоты будем полагать, что y_*  =  0 (преобразования не изменятся и в общем случае, но станут более громоздкими). Выражение (11.18) с учетом (11.19) и (11.20) принимает вид

.                               (11.21)

Запишем теперь выражение для сигнала на выходе ФЧУ:

                                      (11.22)

или с учетом (11.21)

.                   (11.23)

Так как усредняющий фильтр усредняет сигналы на периоде, то на его выходе получим

.    (11.24)

Представив в (11.24) интеграл суммы в виде суммы интегралов, запишем

.            (11.25)

Первый интеграл в выражении (11.25) на периоде будет равен нулю, а во втором  выразим через косинус двойного угла:

.

Полученное выражение преобразуем к виду

.                  (11.26)

Поскольку интеграл  на периоде равен нулю, на выходе фильтра получим сигнал, пропорциональный градиенту

.                                  (11.27)

Метод синхронного детектирования работает устойчиво, хорошо защищен от помех и часто применяется в реальных системах поиска экстремума.

Аналогичный подход можно использовать и для оценки градиента в многоканальных системах. С этой целью к каждому значению выходной переменной динамической части объекта  добавляется свой поисковый сигнал определенной частоты и амплитуды (). В систему необходимо добавить соответствующее число полосовых фильтров, каждый из которых будет выделять свою составляющую выходного сигнала . Наличие m усредняющих фильтров позволяет получить отдельные компоненты вектора .

11.6.5. Оценка градиента с помощью специального фильтра

Оригинальный способ оценки градиента был разработан на кафедре автоматики НГТУ [5]. Структурная схема устройства (фильтра) оценки частной производной представлена на рис. 11.12.

Рис. 11.12. Структурная схема фильтра оценки градиента

Покажем, что данное устройство действительно позволяет оценивать частную производную. С этой целью для промежуточной переменной z запишем соотношение

,                                    (11.28)

где  – оценка выходной переменной экстремального объекта; T – постоянная времени фильтра.

На практике необходимую для оценки градиента производную  рекомендуется определять с помощью дифференцирующего фильтра (на рис. 11.12 показан пунктиром), имеющего малую постоянную времени.

11.7. Организация  движения  к  экстремуму

Организация движения к экстремуму в автоматической системе основана на контроле градиента и использовании его в законе управления. Такие системы называются градиентными экстремальными системами (рис. 11.13).

Рис. 11.13. Обобщенная функциональная схема градиентной экстремальной системы

Существующие способы их построения используют как оценку значения градиента (системы с управлением по градиенту) [1, 13], так и оценку знака компонент градиента (системы с запоминанием экстремума, отдельные типы шаговых систем).

11.7.1. Градиентные системы первого порядка