Другие предметы \ Системы автоматического управления

Системы автоматического поиска экстремума. Основные понятия и определения. Описание объекта управления. Типовые модели экстремальной характеристики объекта, страница 2


2.  Подпись: Рис. 11.5. Экстремальная характеристика типа «парабола» Экстремальная характеристика типа «парабола» изображена на рис. 11.5. В простейшем случае она описывается уравнением Y = y2.

В общем случае уравнение экстремальной характеристики типа «парабола» имеет вид

, (11.3)

где k1(t) также отражает наклон ветвей параболы; y0(t) – горизонтальный дрейф экстремальной характеристики; Y0(t) – вертикальный дрейф экстремума.

3.  Экстремальная характеристика типа «парабола n-го порядка» описывается уравнением

где ki(t) – коэффициенты, которые отражают наклон ветвей параболы, ; y0(t) – горизонтальный дрейф экстремальной характеристики; Y0(t) – вертикальный дрейф экстремума.

4.  Матричное описание экстремальной характеристики имеет вид

.                                    (11.4)

Зависимость элементов матрицы D(t) отражает изменение во времени параметров экстремальной характеристики.


11.4. Условие  экстремума

Рассмотрим экстремальную характеристику произвольного вида

,                      (11.5)

полагая для простоты, что отсутствует дрейф экстремума.


Как известно, необходимым условием экстремума является равенство нулю градиента, полученного для этой характеристики [11], т. е. выполнение условия

,                                          (11.6)

где  – градиент (вектор частных производных) выходной переменной объекта.

Для того чтобы определить тип экстремума характеристики (11.5), можно задать небольшие приращения по переменным  относительно значения  в виде  и исследовать полученные значения выхода Y. В случае, когда справедливы соотношения

                            (11.7)

Y0 представляет собой точку минимума.

Если значения выхода Y при небольших отклонениях от Y0 удовлетворяют условиям

                            (11.8)

то Y0 соответствует точке максимума характеристики (11.5).

11.5. Постановка  задачи  синтеза  экстремальных систем

Цель экстремального управления состоит в обеспечении минимума или максимума заданной функции качества Y(t,y) при недостаточной априорной информации об объекте.

Задача синтеза экстремальной системы заключается в отыскании для объекта типа (11.1) такого управляющего воздействия u(×), которое позволяло бы автоматически определить положение экстремума и удерживать в нем систему. Математически это означает выполнение условия

,                                 (11.9)

где  – экстремальное значение выходной характеристики.

Поскольку экстремальному значению  соответствует определенное значение , задачу синтеза можно переформулировать. Для экстремального объекта (11.1) необходимо определить управляющее воздействие u(×), которое обеспечит выполнение свойства

.                                    (11.10)

Как видим, задача синтеза экстремальной системы сводится к задаче стабилизации в точке экстремума , а для контроля за достижением этой точки следует использовать условия (11.6) – (11.8).

Таким образом, при синтезе экстремальных систем от алгоритма управления требуются организация движения в точку экстремума, если градиент выходной характеристики G не равен нулю, и удержание объекта в точке экстремума, если он равен нулю.

Анализ задачи синтеза экстремальных систем управления показывает, что в ней можно выделить три относительно самостоятельные подзадачи:

-  задача оценки градиента;

-  организация движения системы к точке экстремума в соответствии с условием ;

-  стабилизация системы в точке экстремума.

Рассмотрим последовательно каждую из них.


11.6. Способы оценки градиента

Задача непрерывной оценки градиента представляет собой самостоятельную и очень непростую техническую проблему. К настоящему времени разработаны различные способы оценки как величины, так и знака градиента [1, 5, 7, 10 – 13]. Остановимся на некоторых из них.

11.6.1. Способ  деления  производных

Рассмотримсуть данного способа на примере одноканальных объектов со статической экстремальной характеристикой

.                          (11.11)

Определим полную производную выходной переменной по времени

.                             (11.12)

Второе слагаемое в выражении (11.12) обусловлено наличием дрейфа. При медленном дрейфе экстремальной характеристики им можно пренебречь, так как . В этом случае из выражения (11.12) можно определить величину градиента как отношение двух полных производных по времени:

Скачать файл