Системы автоматического поиска экстремума. Основные понятия и определения. Описание объекта управления. Типовые модели экстремальной характеристики объекта, страница 3

.                                    (11.13)

Структурная схема устройства, реализующего оценку градиента способом деления производных, представлена на рис. 11.6.

Рис. 11.6. Структурная схема устройства оценки градиента способом деления производных

Поскольку операция дифференцирования на практике очень критична к помехам, для оценки производных следует использовать дифференцирующие фильтры ДФ (на рис. 11.6 они показаны пунктиром).

Достоинством данного способа является простота технической реализации.

Недостатки – техническая сложность оценки градиента при малых значениях  (как следует из выражения (11.13)) и слабая помехозащищенность. Для уменьшения влияния помехи рекомендуется использовать дифференцирующие фильтры выше первого порядка (см. разд. 10).

11.6.2. Способ конечных разностей

Данный способ оценки градиента рассмотрим также для одноканальных объектов со статической экстремальной характеристикой (11.11). При этом в отличие от предыдущего способа производные  и  приближенно заменяются конечными разностями

где k – дискретный момент времени; T – шаг квантования (дискретизации) по времени [5].

В основе способа лежит соотношение

.                  (11.14)

Структурная схема устройства, реализующего дискретную оценку градиента, показана на рис. 11.7. Здесь z¹ – звено задержки на один шаг квантования.

Рис. 11.7. Структурная схема устройства оценки градиента способом конечных разностей

Достоинство данного метода заключается в высокой помехозащищенности, так как фильтрующие свойства обусловлены усреднением переменных на интервале дискретизации.

Недостатком способа является плохая оценка при малых приращениях  в соответствии с выражением (11.14)

11.6.3. Оценка  знака  градиента

В некоторых случаях для организации движения к экстремуму достаточно оценивать только знак градиента, т. е. определять функцию , которую можно представить в виде

                                        (11.15)

или после несложных преобразований

.            (11.16)

Предполагая, что шаг квантования Т достаточно мал, заменим в выражении (11.16) дифференциалы конечными разностями

Это позволяет представить соотношение (11.16) в виде

,                 (11.17)

которое и используется для оценки знака градиента как аппаратным, так и программным способом.

11.6.4. Способ синхронного детектирования

В основе этого способа лежит идея синхронного детектора, который используется в радиотехнике для выделения на фоне основного сигнала дополнительной составляющей [9].

Способ синхронного детектирования (рис. 11.8) предполагает добавление к основному сигналу на входе экстремальной характеристики y дополнительного поискового синусоидального сигнала малой амплитуды и высокой частоты с последующим выделением соответствующей составляющей из выходного сигнала Y.

Здесь ГСК – генератор синусоидальных колебаний; ФЧУ – фазочувствительное устройство; Ф – усредняющий фильтр.

Сравнение фаз входного и выходного периодических сигналов позволяет сделать вывод о том, движется ли система к экстремуму или удаляется от него, т. е. получить оценку знака градиента. Введение в систему специального усредняющего фильтра дает возможность оценить и его величину.

Работу способа синхронного детектирования иллюстрирует рис. 11.9.

Наличие колебаний на входе приводит к появлению колебаний такой же частоты на выходе, причем при прохождении экстремума колебания на выходе изменяют фазу на 180º.

Для сравнения сигналов со входа и выхода экстремального объекта используется специальное фазочувствительное устройство. Если входной и выходной сигналы имеют одну и ту же фазу, то на его выходе появляется положительный сигнал, в противном случае – отрицательный. Этот сигнал, пройдя через специальный усредняющий фильтр, будет пропорционален частной производной G.

В качестве ФЧУ может быть использован блок умножения, имеющий два входа (рис. 11.10).

Рис. 11.10. Графики, иллюстрирующие работу

ФЧУ на базе блока умножения:

входной и выходной поисковый сигналы в фазе (а) и противофазе (б)

Покажем теперь аналитически, что способ синхронного детектирования позволяет получить оценку частной производной.