Формулировка задачи синтеза экстремальных систем. Описание экстремальных характеристик. Простейшая непрерывная оценка частной производной. Дискретная оценка частной производной (метод деления конечных разностей). Оценка градиента способом синхронного детектирования. Оценка градиента при помощи специального фильтра. Шаговые экстремальные системы

1.  Формулировка задачи синтеза экстремальных систем

Cистемой экстремального регулирования называют СУ в которой на ряду с динамической частью имеется статический показатель качества работы, который необходимо поддерживать на мин./макс. уровне. Количество экстремумов, их положение, и аналитическое выражение функции качества в общем случае может быть не известны. Показатель качества с течением времени может меняться под воздействием окр. среды (дрейф). Регулятор должен обеспечивать определение экстремума и стабилизацию СУ в найденной точке.

Математическая модель объекта:

x - вектор состояния объекта; y- вектор выходных переменных ДЧ объекта; Y(y,t)- выходная переменная экстремального объекта, которая представляет собой нелинейную однозначную функцию и имеет экстремум по переменной y; Зависимость f и B от t отражает влияние действующих на объект возмущений, зависимость Y от t отражает дрейф экстремума во времени. Предполагается, что параметры динамической части объекта f(x,t) и B(x,t) могут изменяться в заранее указанных пределах (). Темп изменения Y, f и B на порядок медленнее основных процессов в объекте. Задача синтеза экстремальной системы: необходимо рассчитать регулятор, т.о. чтобы в замкнутой системе выполнялось условие: Extr Y(t,y)=Y₀ где Y₀ - экстремальное значение выходной характеристики. Могут предъявляться требования к процессу поиска экстремума: . Т. к. Y₀ соответствует определенное значение y₀, задачу синтеза можно переформулировать. Для экстремального объекта необходимо рассчитать регулятор, кот. обеспечит выполнение свойства lim y(t)=y0 при t->∞ для вых. переменной ДЧ.(условие системы стабилизации) с требуемыми показателями *.

При синтезе экстремальных систем можно выделить 3 задачи:

1)задача оценки градиента; 2)организация движения системы экстремуму G®0; 3)стабилизация системы в точке экстремума при наличии дрейфа.

где  - градиент (вектор частных производных).

2. Описание экстремальных характеристик

Возможны различные варианты описания характеристики Y(t,y) для одноканального объекта:

1) Экстремальная характеристика типа "модуль"

при отсутствии дрейфа: Y=½y½.

В общем случае : Y=k(t)|y-y₀(t)|+Y₀, (дрейф есть)

2) ЭХ типа "парабола"

3)  Парабола произвольного n-го порядка

Y =k_n(t)|y-y₀(t)|ⁿ +…+k₁(t) |y-y₀(t)|+Y₀(t) при наличии дрейфа.

4) Многоканальный объект Матричное описание ЭХ (квадратичная форма) Y=y^TВ(t)y (без дрейфа.) В общем случае

Зависимость элементов матрицы В(t) отражает изменение во времени экстремальной характеристики.

3. Простейшая непрерывная оценка частной производной

(Способ деления производных)

Для одноканальных объектов, статическая экстремальная характеристика которых имеет вид Y=Y(y,t), y € R¹

Определим полную производную выходной переменной по времени  

Второе слагаемое в выражении обусловлено наличием дрейфа. При медленном дрейфе экстремальной характеристики им можно пренебречь, так как . В этом случае можно определить величину градиента как отношение двух полных производных по времени: G =   (1)

Рис. 1 Структурная схема устройства оценки градиента методом деления производных

Поскольку операция идеального дифференцирования на практике нереализуема, для оценки производных следует использовать дифференцирующие фильтры (показаны пунктиром).

Достоинство данного способа: простота технической реализации.

Недостатки 1) необх. Точно оценить производные (дифференцирование усиливает помехи). Для уменьшения влияния помехи вместо идеальных дифференцирующих устройств нужно использовать дифференцирующие фильтры выше первого порядка с малыми постоянными времени.2) невозможно оценить градиент при малых значениях  и =0. Поэтому невозможно применить на практике.

4. Дискретная оценка частной производной

(метод деления конечных разностей)

Данный метод оценки градиента применяется для одноканальных объектов со статической экстремальной характеристикой Y=Y(y,t), y € R¹. Здесь, производные  и  представляются в виде конечных разностей

,где k - дискретный момент времени; T - шаг квантования (дискретизации).

В основе способа лежит приближенное соотношение:

Рис. 1. Структурная схема оценки градиента методом конечных разностей

Достоинство данного метода в высокой помехозащищенности, так как дифференцирование  отсутствует.

Недостатком метода является невозможность оценки при малых приращениях Δy и Δy =0.

5. Оценка градиента способом синхронного детектирования

Оценка знака градиента  

Способ синхронного детектирования предполагает добавление к основному сигналу на входе экстремальной характеристики y дополнительного поискового синусоидального сигнала малой амплитуды и высокой частоты Δy=Asinωt с последующим выделением соответствующей составляющей из выходного сигнала Y.

В зависимости от разности фаз делается вывод о знаке G.

Для получения величины G в систему добавляют усредняющий фильтр. Работу метода синхронного детектирования иллюстрирует график рис.2.