Виды гидравлических сопротивлений. Режимы движения вязкой жидкости. Сопротивления при относительном движении твердого тела и жидкости, страница 9

4.7. КАСАТЕЛЬНЫЕНАПРЯЖЕНИЯ ВТУРБУЛЕНТНОМПОТОКЕ

Касательные напряжения, возникающие в турбулентном потоке, по своей физической природе существенно отличаются от касательных напряжений в ламинарном потоке. В результате интенсивного перемешивания частиц происходит массообмен частицами в поперечном направлении между отдельными слоями, что приводит к обмену количеством движения.

Определим касательные напряжения, возникающие в турбулентном потоке вдоль оси х, в котором имеются пульсации скоростей, приняв струйчатую модель движения (рис. 4.9). Выделим в потоке жидкости два слоя: первый слой - движения со скоростью , второй - с большей скоростью на величину , т.е. .

Рис. 4.9. К определению касательных турбулентных напряжений

За счет поперечной пульсационной скорости  происходит обмен массами между слоями через некоторую площадь . За время dt через площадь  от слоя 1 к слою 2 пройдет следующая малая масса жидкости:

.                                                  (4.73)

Эта масса жидкости за счет продольной пульсации  передаст слою 2 следующее количество движения:

.                                         (4.74)

В результате передачи количества движения в слое 2 возникает импульс силы

,                                                        (4.75)

где  - воображаемая сила трения, вектор которой параллелен направлению движения слоев.

Используя теорему количества движения (изменение количества движения равно импульсу движущих сил), получим

                                             (4.76)

или

                                                          (4.77)

где  - касательные напряжения в турбулентном потоке.

Уравнение выражает мгновенное значение касательных напряжений, обусловленных пульсацией скорости при турбулентном движении.

Осредненные касательные напряжения турбулентного трения представляются в виде

,                                                         (4.78)

где ,  - осредненные пульсационные составляющие.

В турбулентном потоке имеют место вязкостные напряжения, связанные с силами внутреннего трения в результате сцепления частиц в потоке, а также со стенками русла. Полные касательные напряжения в результате турбулентного перемешивания  и вязкостного трения

                                                                                        (4.79)

или

,              (4.80)

где  - динамическая вязкость.

Согласно теории Прандтля пульсационные скорости  и  достаточно близки (), а пульсационная осредненная составляющая

,

где l - значение перемещения частиц или длина пути смешивания.

Тогда, подставив (4.81) в (4.78), получим формулу турбулентных касательных напряжений:

.                                               (4.82)

Согласно гипотезе Прандтля величина  принимается пропорциональной расстоянию в рассматриваемой точке z от стенки русла потока, т.е.

,                                                               (4.83)

где a - некоторое постоянное число.

По Прандтлю следует, что по мере удаления от стенки значение перемещений частиц жидкости  в поперечном направлении увеличивается. Число а обычно называют универсальной постоянной Прандтля.

В результате исследований турбулентного потока в трубах, связанных с распределением скоростей, Никурадзе получил a=0,4.

По предложению Буссинеска турбулентные касательные напряжения по аналогии с законом Ньютона можно представить в виде

,                                                         (4.84)

где А - коэффициент турбулентного перемешивания, связанный с переносом количества движения в результате интенсивности турбулентного перемешивания.

Учитывая равенства для  (4.82) и (4.84),

,                                        (4.85)

получим

.                                                    (4.86)

По аналогии с законом трения Ньютона обозначим , где  - динамическая виртуальная (турбулентная) вязкость.

Выражение (4.82) может быть представлено в следующем виде:

.

При сильно турбулизированном потоке вязкостные напряжения пренебрежительно малы, и тогда касательные напряжения