Предмет і метод статистики. Зведення і групування статистичних матеріалів. Середня гармонійна та її використання. Математичні властивості дисперсії, страница 6

        å xW          7*8+9*20+11*37+13*24+15*11

`x = --------- = ------------------------------------------- =11,2(м)

                  100                                  100

7. Основні математичні властивості середної арифметичної.

1.  Якщо індивідуальні значення ознаки (варіанти) збільшити або зменшити в будь- яке стале число раз, то середня збільшиться чи зменшиться в таке число разів.

2.  Якщо до кожної варіанти додати чи відняти якесь стале число а, то середня збільшиться чи зменшиться саме на число а.

3.  Якщо частоти кожної з груп, тобто f₁,f₂,...f_n поділити чи помножити на якесь число і, то середня від цього не зменшиться. З цього випливає, що середня залежить не від загальної кількості обстежених елементів сукупності, а від співвідношення окремих груп, яким належать різні варіанти.

4.  Сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середнього її значення завжди дорівнює 0.

                  å( x -`x) =0       å( x -`x)f = 0

5.  Добуток середньої і чисельності сукупності завжди дорівнює загальному обсягові ознаки.

                  `xn = åx     дані не згруповані

                  `x åf =  åxf      дані згруповані

8. Середня гармонійна та її використання.

Буває простою і зваженою. Середня гармонійна проста - обернена до середньої арифметичної з обернених індивідуальних значень ознаки (х).

Приклад: кожен з трьох робітників за годину виробив таку кількість деталей х₁=2шт., х₂=3 шт., х₃=4шт. Обчислити середню.

       åx         2+3+4

`x=------- = ----------- = 3 (шт)

       n                 3

Кількість затраченого часу на 1 деталь кожним з робітників можна подати так:             1                        1                            1

х₁ = ----- (год)   х₂ = -----(год)       х₃ = ------(год)

           2                        3                             4

Обчислимо середні затрати часу на виготовлення 1 деталі.

З попередньої умови видно, що ці затрати становлять 1/3. За другою умовою для визначення середньої слід скористатись формулою середньої гармонійної простої.

         n                                            3                 1           

`x = -----                     `x = ------------------- = -----(год)

       å 1/x                                ½+1/3+1/4          3

Проте ця середня застосовується на практиці край рідко.

Широке застосування має середня гармонійна зважена:

                                 å Z                       Z - добуток xf, Z = xf

                      `x = ----------

                                åZ/x

Ця формула застосовується втих випадках, коли за умовою задачі відсутні дані про частоти і їх необхідно обчислити додатково.

Припустимо, що по 100-а обстежених робітницях (табл.вище) відомі такі дані

Денний виробіток , м	заг. Обсяг виготовлених доріжок по групам, м
До 8	56
8-10	180
10-12	407
12-14	312
14 і більше	165
разом	1120

  За цими даними необхідно обчислити середній денний (змінний) виробіток однієї робітниці.

Сердній           заг. обсяг виготовлених доріжок

змінний     = ----------------------------------------------  

виробіток           число робітниць

В даному випадку чисельність робітниць відсутня. Але її можна обчислити поділивши обсяг виготовлених доріжок по кожній з груп на індивідуальне значення ознаки по окремій групі. Визначимо число робітниць.

         f₁ = 56/7=8   f₂ = 180/9=20  f₃ = 407/11=37 і т.д.

Визначити середню в цьому випадку можна без проміжних розрахунків за формулою граничної зваженої:

                        åZ              56+180+...+165

              `x = ----------- = ---------------------------- = 11,2 (м)

                        åZ/x        56/7+180/9+...+165/15

Вибір виду середньої залежить в кожному випадку від суті осереднюваної величини, тобто логічного її змісту та від наявної інформації.

   середня               загальна виручка

            виручка         = ----------------------------

     на 1продавця      кількість продавців