Исследование свойств адаптивных систем с эталонными моделями: Методические указания к лабораторным работам по курсу “Адаптивные системы управления”, страница 4

где e (t) = x (t) – x_м (t). Предлагаем выполнение условия управляемости объекта и наблюдаемости координат состояния.

Пусть целевой функционал выбран в форме скалярной квадратичной функции

                                                 (2.6)

Поставленная цель управления выполняется, если Q®0 при t®¥.

Уравнение основного контура можно получить модальным методом, т.е. разрешив уравнение

относительно u (t):

или                                               (2.7)

«Идеальное» управление можно записать в форме

                                                                         (2.8)

где матрицы k_*^x, k_*^r удовлетворяют условию

.                                   (2.9)

Матрицы идеальных значений коэффициентов регулятора k_*^x, k_*^r существуют, если выполняются ранговые условия

          Реальный закон управления имеет вид

                                    (2.10)

где k^x (t), k^r (t) – матрицы настраиваемых коэффициентов регулятора, 

          Для определения вида алгоритма адаптации требуется вычислить производную целевого функционала (2.6) в силу уравнений системы (2.3), (2.4), (2.10):

                     (2.11)

После подстановки (2.10) в (2.11) имеем

.    (2.12)

Определим скоростные градиенты

,

.

 Для алгоритмов настройки коэффициентов выбираем АСГ в дифференциальной форме (2.2)

                    (2.13)

где Г = gI,  g > 0 .

          Система (2.3), (2.4), (2.10), (2.13) относится к системам с параметрической адаптацией. На основе АСГ можно синтезировать системы с сигнальной и сигнально- параметрической адаптацией. Системы с алгоритмом адаптации (2.13) сохраняют работоспособность при изменении координатных и параметрических возмущений в широких пределах.  Качество процессов ухудшается, если скорость изменения параметрических возмущений высокая.

          С целью повышения быстродействия в контурах параметрической настройки коэффициентов регулятора можно применять пропорционально-интегральные алгоритмы адаптации в дифференциальной форме

                                    (2.14)

2. Методические указания

          Рассматривается линейный одноканальный объект управления (1.18), (1.19) с параметрическими возмущениями. Желаемая динамика системы задана уравнением эталонной модели (1.20) по требованиям к качеству переходных процессов (таблица1). В системе эталонная модель реализуется в виде линейного динамического звена.  Согласно методу эталонного уравнения получим описание регулятора:

                                                                   (2.15)

или                               ,                                     (2.16)

где =, , -настраиваемые коэффициенты регулятора, изменение которых осуществляется по пропорционально-интегральному  алгоритму  (2.14):

                   =,                                                (2.17)

   ,                                              (2.18)

 где  ,  - матрица коэффициентов, удовлетворяющая уравнению Ляпунова

                   = - D   .                                                     (2.19)

Уравнения (2.17), (2.18) можно записать в виде

                   ,                       (2.20)

              ,                       (2.21)

                   .                        (2.22)

Дифференциальные уравнения (2.17), (2.18) или (2.20)-(2.22) описывают адаптор, структурная схема которого изображена на рисунок 2.1.

Рисунок 2.1

Быстродействие адаптора определяется с помощью времени сходимости процессов (), которое определяется аналогично  , но по графикам ,  i – индекс настраиваемого коэффициента регулятора. В случае пятипроцентных  отклонений область установившихся значений коэффициентов задается неравенством

,

,   .